Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
780 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ. МЕХАНИКИ
ром — кроме того изменяются внутренние состояния частиц и даже рождаются другие частицы. " і
2°. Если рассеивающий центр неподвижен, то столкновение рассматривается в одной из двух систем отсчета: лабораторной (л-системе), относительно которой учитываются движения и рассеивающей и рассеиваемой частиц, или в системе центра масс (центра инерции) сталкивающихся частиц (с-система).
Если в л-системе рассеивающий центр с массой M до столкновения покоится, и на него налетает частица с массой т и скоростью V0, то кинетическая энергия обеих частиц 2
а скорость движения центра масс частиц относительно л-системы равна
= J2mT0
с M + т
В с-системе кинетическая энергия относительного движения обеих частиц
Т = 7-Ir0 прим=*,
Энергия частицы в л-системе после рассеяния связана с ее энергией до рассеяния:
Tjl = M2 + Ui2 + 2Mm cos 9 .
T0 (М + т)2
Ti мин = T0, при 0 = 180°, т. е. при центральном
ударе (0 — угол рассеяния). Соотношения между углами рассеяния частицы т в с-системе (0) и в л-системе (ч'>):
tg -0 = М sin9 , cos jO = m + M cos 9 _
т + M cos 0 ^jni2 + M2 + 2тМ cos 0
3°. Если потенциал U рассеивающего центра имеет сферическую симметрию, то поток рассеянных частиц представляется в виде расходящейся сферической волны:
^ikr
1|/ = а(0)--,
Г
где а(0) называют амплитудой рассеяния-, |а(0)|2 = о(0).
VI.2.7 РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ 781
4°. Уравнение Шрёдингера для рассеяния в поле силового центра с массой т имеет вид, указанный в VI.6.2.
Рассматриваются решения при E > О, соответствующие свободному движений частиц. Потенциал сил при этом считается достаточно быстро убывающим с г
^ не менее быстро, чем і j .
5°. Амплитуда рассеяния для упругих столкновений:
а(е) = 27* X (2f + 1)(e2i,li ~ 1Wcos е>-
¦ I = O
а(0) — комплексная функция.
Полное эффективное сечение:
Tl CO
с = 2tcJ |a(0)|2sin 0 d0 = (21 + 1) sin2 г)г,
о i = o
г.9 2тЕ
где k = —— квадрат волнового числа налетающей h2
•частицы, I — квантовые числа, определяющие момент импульса частиц, P1 (cos 0) — полиномы Лежандра, r\i — так называемые фазы рассеяния, зависящие от свойств рассеивающего поля и энергии налетающих частиц. Отдельные члены ряда называют парциальными эффективными сечениями рассеяния O1 для частиц с заданным орбитальным моментом
импульса L = tijl(l + 1) . Максимальное парциальное сечение: .
Oihbkc= р <2*+ U-
Рассеяние при I = О сферически симметрично, при Z=I имеет симметрию диполя, при I = 2 — симметрию квад-руполя и т. д.
Эффективные сечения для неупругого рассеяния имеют сложный вид, зависящий от структуры частиц, проявляющейся при их столкновении, а также от их энергии.
6°. Если U можно рассматривать как слабое возмущение, мало изменяющее первоначальное движение
частиц [ этому случаю соответствует малость всех фаз
782 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
рассеяния, Tij <SC 5 j , то для с(0) при упругих столкновениях применяют формулу Борна:
0(0)=?-2
|Щг|
SinJCr 2
Kr
г2 dr
п
где К = 2fcsin I — модуль вектора, связывающего импульсы рассеянных и падающих на центр частиц.
Борновское приближение теории столкновений справедливо при любых скоростях V рассеиваемой силовым центр частицы при условии
И«*)| « —о . та*
где а — линейные размеры области, где сказывается действие центра на частицу. Если предыдущее условие не выполняется, то формула Борна справедлива только для
быстрых частиц, удовлетворяющих условию — \U(a)\.
а
Для быстрых частиц, таких, что v 2> -А. , полное эф-
та
фективное сечение обратно пропорционально энергии налетающей частицы.
7°. Для упругого рассеяния достаточно быстрых частиц (с массой т, скоростью v и зарядом д) атомом с зарядом ядра Ze и объемной плотностью —ер(г) электрического заряда электронной оболочки атома
с(6) =---2??!--[Z - F(e)]2cosec4 § ,
64n2E0mzv4
где F(G) = 4тс Г sAn-j^r p(r)r2dr — так называемый атом-J Kr
О
ныи фактор рассеяния, 0 — угол рассеяния в с-систе-ме. Если р экспоненциально спадает с увеличением расстояния от центра атома:
P = Poe
VJ.2.8. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 783
где а имеет смысл «радиуса» атома, то
^(6) =
Z
(l+ 4 ft2'
O2Sin2
и
2
о(6)- q2e2f 1-
с a -9-*-1_2 ..4
64я2є0т2і>4 (l + 4ft2
I
cosec
.4 Є
2
Для быстрых частиц (ka » 1) и не слишком малых углов рассеяния справедлива формула Резерфорда:
8. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
1°. Квазиклассическим приближением, или методом ВКБ (Вентцеля—Крамерса—Бриллюэна) называют приближенный метод решения задач квантовой механики в тех случаях, когда квантовое и классическое описания движения частиц дают близкие результаты. Он применим, если длина волны де Бройля частицы мала по сравнению с пространственными размерами неоднородности поля, действующего на частицу. Соответственно, потенциальная энергия C/(r. t) и длина волны де Бройля X должны медленно изменяться с изменением координат. Например, в одномерной задаче должно выполняться условие
