Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
2°. В квантовой механике есть отличная от нуля вероятность захода частицы внутрь барьера при E < U0 и отражения от барьера при E '• U0.
0 при |л;| < O1, |г/| < а2, |z| < а3,
+оо npv.\x\> аг,\у\> а2, \z\>as,
E
і _ ft2 Я2
пі.п2>пз Sm
772 Vl 2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
Стационарные уравнения Шрёдингера для волновых функций частицы ViM (в области х < 0) и Ці./х) (в области х > 0):
+ ft? V1- о и ^ + ft* V2 = О,
где fti = і j2mE и ft2 = і j2m(E - U0).
3°. Если E > U0, то ft2 — действительное число, и
V1(X) =A1 е1’*1* + A2e~lk'x , Vi2(X) = B1Cikix.
Первый член в выражении для Vi соответствует волне де Бройля частицы, движущейся к барьеру, а второй — частице, отраженной от барьера. Из граничных условий:
Vi(O) = V2(Q) и
Cly1(O) _ dv2(0)
следует, что вероятность
ах ах
R отражения частицы от барьера и вероятность D ее перехода в область х > 0 равны:
R =
2 ’
D=I-R=
= (H1-H2)2 (ft, +fc2)
46^2
2 ’
(fti + /е2)
так что R < I, a D > 0.
4°. Если E < U0, то ft2 — величина мнимая: ft2 = ik,
где ft = і j2m(U0 - Е). Соответственно, волновые функции имеют вид
Vi(Jc)=^ieifel* +A2e iklX и у/2(х) = Bte~kx.
Из граничных условий следует, что вероятность отражения частицы от барьера
R
A2 2 Aj1 - ik
Je1 + ik
= 1,
VI.2.5. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
773
т.е. полное отражение. Отсутствует поток частиц в классически. запрещенной области х > 0, но есть отличная от нуля вероятность обнаружить частицу. Эта вероятность пропорциональна |\j/2(jc)|2 и экспоненциально убывает по мере проникновения частицы под барьер. Аналогичное явление наблюдается в оптике при полном внутреннем отражении света.
5°. Нарис. VI.2.5 изображен прямоугольный потенциальный барьер «высотой» U0, ширина которого равна d:
О х < 0 (область 1),
U(x) U0 0 < х < d (область 2),
О х > d (область 3).
Согласно классической механике, частица с энергией E < U0 не может перейти из области 1 не только в область 3, но и внутрь барьера (область 2).
Иначе обстоит дело в квантовой механике. Стационарные уравнения Шрёдингера для волновой функции !(/-частицы массой т в областях I (V1), 2 (V2) и
3 (V3):
92Vl , .2 „ S2V2 ,2
_ -Hft1V1 = O, __ -мъ = о,
где k1 = і JZmE и ft2 = | J%m{U0 - Ф) = ih. Решения этих трех уравнений:
Vi(*) = A1Clklх + А2е V2(*) = + B2Bhx
-Ife1
V3(X) = Agelfel*.
774 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
Из граничных условий при пе = 0 и х = d следует, что отлична от нуля вероятность D перехода в область 3 частицы, подлетающей к барьеру в области 1 и имеющей энергию E < U0:
D=_______________________
(k\ + k2fsh2kd + Ak\k2
Это явление «просачивания частицы сквозь потенциальный барьер» называют туннельным эффектом, а коэффициент D — коэффициентом прозрачности потенциального барьера.
6°. Если A1 и k — одного порядка, а величина Iid та-
о е2 kd
кова, что sh^kd ~ -— , то для коээфициента прозрач-4
ности D прямоугольного потенциального барьера пользуются приближенной формулой:
D ~ Cer2kd,
где коэффициент С порядка 1.
В этом же приближении коэффициент прозрачности потенциального барьера произвольной формы U(x) (рис. VI.2.6) равен xi
D-Cexp^-? J j2m(U(х) - Е) dxj,
*г
где X1 и X2 — координаты точек, в которых U(x) = Е, (х2 - X1) — ширина барьера для частицы с энергией Е, а (Umsx - Е) — высота барьера.
7°. Туннельный эффект — чисто квантовомеханическое явление. В нем, как и в соотношении неопределенностей, проявляется корпускулярно-волновой дуализм свойств микрочастиц. В связи с неопределенностью координаты х туннелирующей частицы внутри барьера, равной его ширине, неопределенность в проекции им-
2
пульса Pv частицы и ее кинетической энергии T = —Ї-* 2т
таковы, что AT > (Umax - Е). Поэтому туннельный эффект не противоречит закону сохранения энергии.
Ox1 X2 Рис. VI.2.6
VI.2.6. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
775
6. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ЦЕНТРАЛЬНОМ КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ЯДРА АТОМА (ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ ИОНЫ)
1°. Водородоподобный ион содержит один электрон, движущийся в центральном кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия электрона и ядра равна
Ze2
С/(г) = -
4пе0г’
где г — расстояние электрона от ядра, Z — зарядовое число ядра, є0 — электрическая постоянная.
Оператор Гамильтона электрона в поле неподвижного ядра в сферической системе координат имеет вид
Й2 д Год ^ ± L2
H = —
2т
'' д (г2 A I + + U(r),
г2 Эг V Эг ) 2т„г2
где те — масса электрона, L — оператор квадрата момента импульса.
2°. Стационарное уравнение Шрёдингера для собственных волновых функций и значений энергии E элект-
^2
рона: Hi)/.= ?ц/. Оператор L коммутирует с гамильто-/\
нианом H . Поэтому у них общие собственные функции у(г, 0, ф) = Щг) Ylm(6, ф) и L2 V = Zj2 1(1 + 1)у,
где Yi m — сферическая функция, Щг) — радиальная функция, удовлетворяющая уравнению:
dЩг) + 2 cLR(r) _ /(Tfl) + Zmf = 0
dH г dr И й2
3°. При E < 0, т. е. для электрона, находящегося в связанном состоянии, непрерывные, конечные и однозначные решения уравнения Шрёдингера существует лишь при следующих дискретных значениях En энергии, образующих энергетический спектр водородоподобного иона:
