Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
Л
где Lz — оператор квадрата момента импульса, а ф — угловая часть оператора Лапласа.
Состояние ротатора характеризуется определенными значениями квадрата момента импульса, L2 = h2l(l + 1), и его проекции Lz = hm, где I = О, 1, 2, ... и т = -I, (-1 + 1), ... О, ... , (I — I), I [всего (21 + 1) значений].
3°. Собственные функции оператора L2 ротатора — сферические функции:
YIm(0, (р) = С1те‘т<гР(т| (cos 0),
где cos 0 — полином Лежандра, Clm — нормировочный множитель.
Собственные значения энергии ротатора равны E1 =
_ h 1(1 + I) ^ Значения Eі не зависят от квантового чис-
2 J 1
ла т, так что существует (21 + 1)-кратное вырождение по значениям проекции L2 момента импульса.
4°. Ротатор применяют как идеализированную модель при изучении вращательного движения молекул и атомных ядер. Моделью ротатора пользуются при изучении движения двухатомных молекул, у которых расстояния между атомами изменяются мало. Различные состояния вращения молекулы как целого (ротационный спектр молекулы) хорошо описываются собственными функциями и собственными значениями энергии ротатора.
768 VI.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
3. ОДНОМЕРНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
1°. Одномерной прямоугольной потенциальной ямой называют область поля, в которой потенциальная энергия частицы в классической механике зависит от одной координаты х следующим образом (рис. VI.2.3):
U(x)
—a O a x
U0
Рис. Vl.2.3
Щх)
Чо”
< 0 при |х| < а,
при |х| > а.
Стационарное уравнение Шрёдингера для »|)-функции частицы внутри ямы (V1 (х)) и вне ее (i|I2 (х)) имеет вид
+ ^(? “ c7q^1 = °’ ИЛИ 1ГЇ + kI Vl = °’
dxz TH Axi
^ +2^2 = 0, или ___
dx2 ft2 dxz
d2V2 ,2 ,,
k2 V2 = o,
где &і = і j2m(E -U0) Hk2= J- .J-2mE .
2°. Если U0 <. E <- 0, то общие решения имеют вид: Vi(X) =A sin ftjX + В cos Jz1X,
V2(X) =
[C1 е при х > а,
С2е
при дг < -а. Из условия непрерывности у(х) и ямы следует:
2A sin kxa = (C1 - С2)е 2В cos A1O = (C1 + С2)е *2° ,
dx
-feoC
на границах
2Jj1-B sin /eta = fc2(Ct + С2)е cos kta = k2(C1 - C2)e
-k9a
-k0 a
VI.2.3 ОДНОМЕРНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦ ЯМА 769
2 2
3°. Из симметрии поля следует, что C1 = C2 , т. е. либо C2 = C1, либо C2 = С]. В первом случае функции V1(Jc) и \у2(х) — четные, т. е. А = О, В 0; V1(Jc) = = В cos A1X и
Jz1 tg Jz1O = ft2. (2.1)
Во втором случае функции V1(JC) и Vjf2(X) — нечетные, т. е. B = О, A^ 0, Vj(*) =A sin Jz1JC и
Jz1 ctg ftja = - k2. (2.2)
Возможные дискретные значения энергии частицы в потенциальной яме находят из трансцендентых уравнений (2.1) и (2.2). Общее число этих энергетических уровней конечно и зависит от «размеров ямы», т. е. от ее «глубины» U0H ширины 2а, причем наинизший уровень лежит выше дна ямы.
Если энергия частицы E > 0, то ее движение неограничено (инфинитно), а энергетический спектр непрерывен.
4°. Для частицы, находящийся в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной «глубины»,
J О при |х| < о,
U(x) +00 При I3cI -J. а.
функция Ц1(х) отлична от нуля только внутри ямы и равна нулю на ее границах: v(-°) = V(o) = О.
Стационарное уравнение Шрёдингера для частицы в яме:
^ +/Z2V = O,
где к = \ j2mE . fi
Общее нормированное решение, удовлетворяющее граничным условиям:
= <
і cos
Ja а
J- sin Ja а
(п = 1, 3, 5,...), (п = 2, 4, 6, ...).
25 Зак. 2940
770 Vl.2. ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
Энергетические уровни частицы в яме дискретны:
Еп=S^n2
4. ТРЕХМЕРНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
1°. Трехмерная прямоугольная потенциальная яма имеет вид
JU0 < О при \х\ < at, \у\ < а2, \г] < а3> при |дс| > O1, Ы > а2, И>а3.
Стационарные уравнения Шрёдингера для <|/-фупк-ции частицы внутри ямы цг^х, у, г) и вне ее Ч/2(х, у, г):
d^i+dIn+d^i+H21V1 = O
Эх2 ду2 дг2 I
9 =0
Эх2 ду2 дг2 2 2
где A1 = щ j2m(E - U0) и k2 = - J-2тE .
2°. Искомые функции Vjz1 и у2 можно представить в виде произведений трех функций каждой из координат:
ЧМ*, У, г) = X1(JC)F1(Jz)Z1(Z)
Ц12(Х, у, z) = X2(X)Y2{y)Z2(z),
причем
H2Xr 9 H2V 9 ^2Z2 9
-CC2X2 = O, IJr2 -P2F2 = O, -STT-Y^2 = O, где af + pf + vf = ftf И а2 +P2 + Y2 = ft2 -
VI.2.5. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
771
Таким образом, задача сводится к задаче о движении частицы в одномерной потенциальной яме конечной глубины.
3°. Если частица находится в трехмерной потенциальной яме бесконечной «глубины»,
то энергия частицы может принимать только следующие дискретные (квантовые значения):
где /I1, п2, п% — квантовые числа.
5. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
1°. На рис. VI.2.4 изображен одномерный прямоуголь- U(x)
ный потенциальный барьер у _____________
высотой U0: 0
U(x) = 0 (при х < 0) Е
и Щх) = U0 (при х > 0).
Согласно классической ме- о х
ханике, частица массой т, движущаяся в области х < 0 ис. . .
вдоль положительного направления оси х с постоянной
скоростью V = j2mE , может проникнуть в область х ^ 0 лишь при условии, что энергия частицы E больше высоты барьера U0. Если E < U0, то частица упруго отражается «от барьера», изменяя направление своей скорости на противоположное. Вероятность отражения частицы равна 1 при E < І70 и нулю при E > U0. Вероятность проникновения частицы «внутрь барьера» (в область х > 0), соответственно, равна нулю при E < U0 и равна 1 при E - U0.
