Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Яворский Б.М. -> "Справочник по физике для инженеров и студентов" -> 211

Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.

Яворский Б.М. , Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов — М.: Оникс, 2006. — 1056 c.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpofizike2006.djvu
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 307 >> Следующая


7°. Если U1(T), U2 (т),... — система нормированных ортогональных функций, то произвольную функцию и(т), квадрат модуля которой интегрируем по всей области изменения аргументов, можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций:

Такое представление называют разложением по ортогональным функциям.

4. ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1°. В классической механике для характеристики состояния и движения системы пользуются различными физическими (динамическими) величинами — координатами, импульсом, моментом импульса, кинетической и потенциальной энергиями, функциями Лагранжа и Гамильтона и др.

В квантовой механике состояние системы характеризуют ее волновой функцией (Т-функцйей), а каждой динамической переменной M классической механики

ы(т) = C1U1(T) + C2U2(T) + ... ,
748 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ

сопоставляют линейный самосопряженный оператор M , который действует на волновую функцию рассматриваемого состояния системы. Если это состояние таково, что Т-функция является собственной функцией опера-

/S

тора M , то система имеет в этом состоянии вполне'оп-ределенное значение динамической переменной М, равное соответствующему собственному значению опе-

ратора M . Именно такое значение динамической переменной M получается в результате ее измерения у системы, находящейся в рассматриваемом состоянии.

Если Т-функция системы не является собственной

функцией оператора M , то в этом состоянии системы динамическая переменная M не имеет определенного значения: результаты измерения величины М, проведенные со множеством тождественных систем, которые находятся в одном и том же рассматриваемом состоянии, будут различными. В этом случае говорят о среднем значении (M) динамической переменной М:

• (M) = M Tdt,

где T — нормированная волновая функция системы в рассматриваемом состоянии.

2°. Два эрмитовых оператора M и имеют общие собственные функции, а соответствующие им динамические характеристики M и N системы одновременно имеют точные значения, только при условии, что опе-/s

раторы MhN — коммутирующие.

Если операторы M и N не коммутирующие, то величины M и JV не могут одновременно иметь точные значения. В этом случае среднеквадратичные отклонения AM и AN этих величин от их средних значений (M) и (N) удовлетворяют соотношению:

ДМ • AN > ||<[М, N ])|,

где оператор M N — N M = [М ,ft ] называют комму

татором операторов M и Й.

3°. В координатном представлении операторы коор динат равны самим координатам, т. е. их действие на
Vl 1.4. ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

749

У-функцию сводится к ее умножению на соответствующую координату: х = х, у = у hz = Z.

Оператор Si произвольной функции координат

F(х, у, г) равен самой этой функции: f* = F.

Операторы проекций импульса на оси декартовых координат:

где і = J-L .

Оператор вектора импульса:

р = -LhV,

где V = і+ jJL І кД- — набла-оператор. ел: ay ог

Операторы XHp1Ia также у HpjiZ и рг) не коммутируют, а их коммутатор [х , Px]- ih- Поэтому справедливы соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Собственные функции оператора проекции импульса на ось х находят из уравнения

н»» -,.т.

где рх — собственные значения этого оператора. Собствен-

PS h

хч п iPxx

ные функции оператора рх имеют вид: vF(X) = С ехр , ,

где С = const.

4°. В квантовой механике классическому моменту импульса частицы L = г х р соответствует оператор

T4 /V _ , /S

L = г х р ,

где г = і X + jy + Vlz , ар — оператор импульса. Операторы проекций момента импульса:

ihI2Iy

^У=1Г{ХТг~гк)Л^Л{УГх~ХцУ
750 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ

Оператор квадрата модуля момента импульса-. j^2 ^>2

Операторы Lx, Ly и Lz не коммутируют между собой:

[Ly, Lz] = ItiLx,

[L2, Lx ] = ?#Ly , t Ljr, Ly ] = ih Lz .

<>2

но коммутируют с оператором L .

XS XsO XS XSO XS xs9

[Lx, L ] = [ Ly , L ] = [ Lz, L ] = О

Это означает, что одновременно могут иметь определенные значения квадрат модуля момента импульса и какая-нибудь одна проекция момента импульса (например, Lz). Классическая модель этой закономерности — постоянный по модулю вектор L, образующий постоянный угол а с осью z. (Lz = L cos a = const) и вращающийся (прецессирующий) вокруг этой оси.

XS ?ч XS XSg

Операторы Ljc, Lyj L2 и L в сферических коорди-

натах:

Lx = ih[ sin ф A + ctg 0 cos ф A j ,

Ly = ift(-cos Ф A + ctg 0 sin ф^. ] ,

Lz =и L2 — -h2 A0j ф.

Здесь

e^cp SinG Эе (Sln 0 Эе J sin2e а<р2

Э2

— оператор Лапласа для сферы, его называют также оператором Лежандра и обозначают символом А.
Vl.1.4. ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

751

5е. Собственные функции и собственные значения

оператора L находят из дифференциального уравнения

L2T = L2T,

или

-J- Afsine + -A- ^ +AT = O, sineSel S6J sin Є Эф

2

где T = Т(0, ф), так так оператор L действует только

на функции углов 0 и ф, а X = — .

Г

Однозначные конечные и непрерывные решения во всей области изменения переменных (0 < 0 < я, 0 < ф < 2Ti) это уравнение имеет лишь при условии X = 1(1 + 1), где
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 307 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed