Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
7°. Если U1(T), U2 (т),... — система нормированных ортогональных функций, то произвольную функцию и(т), квадрат модуля которой интегрируем по всей области изменения аргументов, можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций:
Такое представление называют разложением по ортогональным функциям.
4. ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1°. В классической механике для характеристики состояния и движения системы пользуются различными физическими (динамическими) величинами — координатами, импульсом, моментом импульса, кинетической и потенциальной энергиями, функциями Лагранжа и Гамильтона и др.
В квантовой механике состояние системы характеризуют ее волновой функцией (Т-функцйей), а каждой динамической переменной M классической механики
ы(т) = C1U1(T) + C2U2(T) + ... ,
748 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ
сопоставляют линейный самосопряженный оператор M , который действует на волновую функцию рассматриваемого состояния системы. Если это состояние таково, что Т-функция является собственной функцией опера-
/S
тора M , то система имеет в этом состоянии вполне'оп-ределенное значение динамической переменной М, равное соответствующему собственному значению опе-
ратора M . Именно такое значение динамической переменной M получается в результате ее измерения у системы, находящейся в рассматриваемом состоянии.
Если Т-функция системы не является собственной
функцией оператора M , то в этом состоянии системы динамическая переменная M не имеет определенного значения: результаты измерения величины М, проведенные со множеством тождественных систем, которые находятся в одном и том же рассматриваемом состоянии, будут различными. В этом случае говорят о среднем значении (M) динамической переменной М:
• (M) = M Tdt,
где T — нормированная волновая функция системы в рассматриваемом состоянии.
2°. Два эрмитовых оператора M и имеют общие собственные функции, а соответствующие им динамические характеристики M и N системы одновременно имеют точные значения, только при условии, что опе-/s
раторы MhN — коммутирующие.
Если операторы M и N не коммутирующие, то величины M и JV не могут одновременно иметь точные значения. В этом случае среднеквадратичные отклонения AM и AN этих величин от их средних значений (M) и (N) удовлетворяют соотношению:
ДМ • AN > ||<[М, N ])|,
где оператор M N — N M = [М ,ft ] называют комму
татором операторов M и Й.
3°. В координатном представлении операторы коор динат равны самим координатам, т. е. их действие на
Vl 1.4. ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
749
У-функцию сводится к ее умножению на соответствующую координату: х = х, у = у hz = Z.
Оператор Si произвольной функции координат
F(х, у, г) равен самой этой функции: f* = F.
Операторы проекций импульса на оси декартовых координат:
где і = J-L .
Оператор вектора импульса:
р = -LhV,
где V = і+ jJL І кД- — набла-оператор. ел: ay ог
Операторы XHp1Ia также у HpjiZ и рг) не коммутируют, а их коммутатор [х , Px]- ih- Поэтому справедливы соотношения неопределенностей Гейзенберга.
Собственные функции оператора проекции импульса на ось х находят из уравнения
н»» -,.т.
где рх — собственные значения этого оператора. Собствен-
PS h
хч п iPxx
ные функции оператора рх имеют вид: vF(X) = С ехр , ,
где С = const.
4°. В квантовой механике классическому моменту импульса частицы L = г х р соответствует оператор
T4 /V _ , /S
L = г х р ,
где г = і X + jy + Vlz , ар — оператор импульса. Операторы проекций момента импульса:
ihI2Iy
^У=1Г{ХТг~гк)Л^Л{УГх~ХцУ
750 VI.1. ВВЕДЕНИЕ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКУЮ КВАНТ МЕХАНИКУ
Оператор квадрата модуля момента импульса-. j^2 ^>2
Операторы Lx, Ly и Lz не коммутируют между собой:
[Ly, Lz] = ItiLx,
[L2, Lx ] = ?#Ly , t Ljr, Ly ] = ih Lz .
<>2
но коммутируют с оператором L .
XS XsO XS XSO XS xs9
[Lx, L ] = [ Ly , L ] = [ Lz, L ] = О
Это означает, что одновременно могут иметь определенные значения квадрат модуля момента импульса и какая-нибудь одна проекция момента импульса (например, Lz). Классическая модель этой закономерности — постоянный по модулю вектор L, образующий постоянный угол а с осью z. (Lz = L cos a = const) и вращающийся (прецессирующий) вокруг этой оси.
XS ?ч XS XSg
Операторы Ljc, Lyj L2 и L в сферических коорди-
натах:
Lx = ih[ sin ф A + ctg 0 cos ф A j ,
Ly = ift(-cos Ф A + ctg 0 sin ф^. ] ,
Lz =и L2 — -h2 A0j ф.
Здесь
e^cp SinG Эе (Sln 0 Эе J sin2e а<р2
Э2
— оператор Лапласа для сферы, его называют также оператором Лежандра и обозначают символом А.
Vl.1.4. ОПЕРАТОРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
751
5е. Собственные функции и собственные значения
оператора L находят из дифференциального уравнения
L2T = L2T,
или
-J- Afsine + -A- ^ +AT = O, sineSel S6J sin Є Эф
2
где T = Т(0, ф), так так оператор L действует только
на функции углов 0 и ф, а X = — .
Г
Однозначные конечные и непрерывные решения во всей области изменения переменных (0 < 0 < я, 0 < ф < 2Ti) это уравнение имеет лишь при условии X = 1(1 + 1), где