Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
1.3.2 РАБОТА
61
справедлива при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О.
4°. Работа А силы F на конечном участке s траектории перемещения ее точки приложения равна алгебраической сумме элементарных работ этой силы на всех бесконечно малых участках траектории:
A = JFdr= Jft ds.
Если Fx — const, то А = FtS .
В случае действия на твердое тело системы сил F1, Fft, вызывающих поступательное движение
і !, ..
тела,
A= ? jF;dr =JFdr= JFt ds,
»=io о о
где F — главный вектор системы сил, a Fx — его проекция на элементарное перемещение dr тела.
5°. Если зависимость Ft от s задана графически (рис. 1.3.1), то работа А силы F на участке траектории между точками B(S1) и C(S2) пропорциональна площади S, заштрихованной нарис. 1.3.1:
A = kj k2S,
где A1 и Zz2 — масштабы s и Ft, принятые'при построении графика и показывающие, соответственно, скольким единицам пути равна единица длины оси абсцисс и скольким единицам силы равна единица длины оси ординат.
6°. Мощностью N силы F называют физическую величину, характеризующую быстроту совершения работы этой силой и равную отношению элементарной работы SA к промежутку времени dt, за который она совершена:
iV=§d.
dt
Рис. 1.3.1
62
I 3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Мощность силы равна скалярному произведению этой силы на скорость перемещения ее точки приложения:
N = F— = Fv = F.v, di 1
где Ft — проекция силы F на направление вектора v. В том случае, когда тело с массой т движется под действием силы F поступательно, Fx = mv и N = mvv .
7°. В случае произвольного движения абсолютно твердого тела результирующая мощность равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих на тело:
"- XF'V'-
І = I 1=1
где Vi — скорость движения точки приложения силы Fj.
Если твердое тело движется поступательно со скоростью V, то N = Fv, где F — главный вектор внешних сил.
В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О или неподвижной оси, проходящей через точку О,
N — Mo,
где M — главный момент внешних сил относительно точки О, (о — мгновенная угловая скорость тела.
3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ И СИЛЫ. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
1°. Стационарное поле, действующее на материальную точку M с силой F, называют потенциальным полем, если работа силы F вдоль любой проведенной в поле замкнутой траектории L точки приложения силы равна нулю:
jjFdr = О,
L
где г — радиус-вектор точки М. Соответственно силу F называют потенциальной (консервативной) силой.
Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение (т. е. элементарная работа силы F) было полным дифференциа-
1.3.3. ПОТЕНЦ. ПОЛЯ И СИЛЫ. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
63
лом некоторой скалярной функции координат Y(x, у, г), называемой силовой функцией-.
Отсюда
Fx da: Ь Flf йу 4 Fz dz = dY.
х Ax’ У d у’ 2 dz’
F=^!i+SjIj+^!k = grad У. dx di/ dz
Потенциальная сила F равна градиенту силовой функции У.
Примеры.
1. Для гравитационного взаимодействия двух материальных точек с массами Wi1 и т2, отстоящих друг от друга на расстоянии R, силовая функция равна
Y = G1^.
2. Для электростатического взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Qf1, отстоящих друг от друга на расстоянии R, силовая функция равна
I cHcIi 4jie0e R
2°. В случае нестационарного поля сила F, действующая со стороны поля на помещенную в него материальную точку М, зависит как от ее положения в поле, так и от времени: F = F(x, у, z, t). Нестационарное поле называют потенциальным полем, а силу F — нестационарной потенциальной силой, если для произвольного замкнутого контура L, проведенного в поле, выполняется условие:
где значения силы F в разных точках контура L берутся в один и тот же момент времени, т. е. при вычислении интеграла предполагается, что обход всего контура осуществляется мгновенно (время t — фиксированный параметр).
64
1.3 РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Нестационарная потенциальная сила так же, как и стационарная, равна градиенту силовой функции:
F = grad У.
Однако в этом случае силовая функция зависит не только от координат материальной точки в поле, но и от времени. Поэтому элементарная работа силы F не равна полному дифференциалу силовой функции У(х, у, z, t):
SA = F dr = dy - — df.
df
3°. Работа А^_2 потенциальной силы при конечном перемещении материальной точки в стационарном потенциальном поле из положения 1 в положение 2 равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях материальной точки:
2
Al-Z= JFdr =У2~ Г1-1
Работа Aj_2 не зависит от того, каким образом материальная точка перемещалась в стационарном потенциальном поле (например, по какой траектории, быстро или медленно и т. п.).
В случае нестационарной потенциальной силы эта формула верна лишь для мгновенного процесса переноса точки ее приложения, так как в противном случае подынтегральное выражение
F dr = ?! dx + I? dy + ^ dz дх ду я dz
не является полным дифференциалом функции У (X, г/, z, t).