Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
1.2.6. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
41
Примечание. Свободное твердое тело движется поступательно, если равен нулю главный момент внешних сил относительно центра масс этого тела.
П р и м е р. Движение тела, брошенного под углом а к горизонту. Тело движется под действием постоянной силы тяжести Р, направленной вертикально вниз (рис. 1.2.4). Для произвольной точки М(х, у) траектории, по которой движется тело, имеем:
mv = Pt + mv0, или v = gt + v0,
Vx = i>0 cos a, vy = V0 sin a - gt,
fffZ
X = v0t cos a, у = v0t sin a - S— ;
уравнение траектории:
у = Xtga-
высота подъема:
У max
2i;0cos2 а _ (i;0sina)2
2 g
дальность полета вдоль горизонтальной оси х:
3-й с.л у ч а й. Движение под действием переменной силы. Изменение импульса тела за промежуток времени от fj до t2 равно
mv2 - mvj = Fcp(#2 - tx),
tZ
где Fc = —-— I"Fdt — среднее значение вектора силы t2 - fi J *1
в !інтервале времени от до
42 1.2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
7. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
1°. Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы с течением времени не изменяется:
п
= О, или P= V т, V1- = const, df 1 '
і = і
Это один из основных законов природы, связанный с однородностью пространства. В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат он записывается в виде системы трех уравнений:
^ Z mi k< =°’^Рх= 4ZmiXi = Constjr; 1-І i= 1
Tl П
й Z mi Vt = °* ^ ру= Z mt у г = constJ/;
i=l /=1
п п
X т* = 0’ ^ = Z ШІ = COnStZ’
І=1 і = I
где Xi , yt , Zi — проекции на оси Ox9 Oy и Oz вектора Vi скорости t-й точки системы, а рх, ру и — постоянные величины, равные проекциям на оси координат вектора р импульса системы.
2°. Закон сохранения импульса показывает, что взаимодействие тел, составляющих замкнутую систему, приводит только к обмену импульсами между этими телами, но не может изменить движения системы как целого: при любом взаимодействии между телами, образующими замкнутую систему, скорость движения центра масс этой системы не изменяется, т. е.
^=0,
df
xC = vCxt + *С0>
Ус = vCyt + Усо>
zC = vCzt + 2С0>
где Vc — скорость центра масс, а хс, ус и Zc — его декартовы координаты.
1.2.8. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
43
3°. Если механическая система не замкнута, но действующие на нее внешние силы таковы, что их главный вектор тождественно равен нулю (F Ш№Ш s О), то импульс системы не изменяется с течением времени: P = const. Если F внеш s о, но проекция F? внеш на ка-кую-либо неподвижную ось q тождественно равна нулю (F внеш = 0), то, хотя р ф const, проекция pq = const. Например, если Fx внеш = 0, то
п п
E т‘ *«¦ = °* X = const-i=i і=і
8. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
1°. Дифференциальное уравнение поступательного движения твердого тела, масса т которого зависит от времени (вследствие присоединения к телу или отделения него частиц вещества), имеет вид:
- (mv)-F + v^,
где F — главный вектор всех сил, действующих на тело, a V1 — скорость присоединяющихся частиц до присоединения Г если > 0 I или скорость отделяющихся
v at )
частиц после отделения ^ если oj.
2°. Ускорение а тела переменной массы равно а = — (F + F ),
- т р
ге
реактивная сила, равная произведению производной і» «ремєни от массы тела на относительную скорость и =
V1 V присоединяющихся или отделяющихся частиц. Примеры.
1. Реактивная сила, создаваемая воздушно-реак-ItibiM двигателем. Эта сила Fp равна сумме двух реак-
44 1.2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
тивных сил, одновременно создаваемых поступающим в двигатель воздухом Fpl и выбрасываемыми из него продуктами сгорания Fp2:
Fp = Fpl+Fp2,
¦л dm р _ (Aml Am2 і
rp1_Uldr’ Fp2--4^r+-dr>
., , ,dm, dm,
F_ = (u, - Uo)--- - U9---= ,
P ' 1 2' dt 2 dt
где U1 = —v — относительная скорость воздуха на входе
в двигатель, v — скорость полета, U2 — относительная
скорость продуктов сгорания на выходе из двигателя,
dm, Am2
---і — секундный массовый расход воздуха, —— —
dt dt
секундный массовый расход топлива.
2. Движение ракеты в условиях отсутствия внешнего силового воздействия. Сила тяги ракеты получается из предыдущей формулы в предположении, ЧТО U1 = О (окислитель, как и топливо, находится в самой ракете):
P _ „ Am P "dt”
где — — скорость уменьшения массы ракеты за счет вы-dt
горания топлива. Уравнение движения ракеты имеет вид:
„ dv_____dm
TTt- — Uo---- j
df 2 df
где VHm — скорость и масса ракеты в произвольный
d V
момент времени f. Векторы — и U2 направлены в про-
df
тивоположные стороны, поэтому
_ ,, dm
TTX- — Uo у
dt 2 dt
откуда при u2 = const следует уравнение Циолковского:
OTn
Ill-Q
V — Un + U0 In------------------- ,
u z m
где 1>0 и то — начальные значения скорости и массы ракеты (при t = 0).
I 2.9. МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
45
9. МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1°. Радиусы-векторы точки и время в двух произ-вольных инерциальных системах отсчета связаны преобразованием Галилея:
