Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
Er -і (в СГС).
Если г < R1 то q0XB = OnEr = O (внутри сферы поля нет).
Из связи между потенциалом и напряженностью поля (111.3.2.5°) следует, что d(p/dr = -Er. Полагая ср = 0 при г —> 00, получим для потенциала поля вне сферы (г > R) 1
§ Ш.З.З. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПОЛЕЙ В ВАКУУМЕ
223
Ф = -г-2— (в СИ),
Апе0г
ер = 2 (в СГС).
Г
Внутри сферы (г < R) потенциал всюду одинаков:
(вСИ)-Ф = I = 4тшД (в СГС). й
Графики зависимостей JSr и ф от г (в СИ) показаны на рис.
III.3.1.
Рис. III.3.1
2°. Поле заряда q, равномерно распределенного в вакууме по объему шара радиуса R с объемной плотностью р = SqfAnR3.
Центр шара О является центром симметрии поля. Поэтому для гауссовой поверхности S в виде сферы радиуса г с центром в точке О
} EdS = ErAnr2 ,
(S)
где Er — проекция вектора E на радиус-вектор г, проведенный
г
из точки О в рассматриваемую точку поля, a E — Er = Er -.
Связь потенциала ф с E имеет вид = -Er.
dr
224
ГЛ. III.3. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Если г > R,To g0XB ~ q и
Er = , ф = — (в СИ),
г 4лє0г y 4пе0г
Er = <Р = Ї (вСГС).
9 9
= ф = 7
4
Если г < RtTo qOXB = ^nr3P = q(rs/R3) и
Jv= r^Si = (вСИ)-
471Е0Л3 3
4
з’
Из связи между ф и E следует, что для г < R
Ег = Ъ = Злрг <вСГС>-
так что
Ф = ф(Д)- \Erdr,
R
Ф = у рД2 + ^(R2 - г2) (в СГС).
Графики зависимостей Er и ф от г (в СИ) показаны на рис.
III.3.2.
Рис. ІП.3.2
3°. Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхностной плотностью ст по круговой цилиндрической по*
§ Ш.З.З. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПОЛЕЙ В ВАКУУМЕ
225
верхности, радиус R которой во много раз меньше длины I образующей.
Вдали от концов заряженной поверхности и на расстояниях г от ее оси OO', малых по сравнению с I, поле можно считать осесимметричным — векторы E направлены перпендикулярно к оси OOr и радиально от нее (при о > 0) или к ней (при о < 0). Если за гауссову поверхность S взять поверхность кругового цилиндра радиуса г и высоты H <&1, ось которого совпадает с OO', то
I EdS = Ег2пгН,
(S)
где Er — проекция вектора E на радиус-вектор г, проведенный от оси OO' в рассматриваемую точку поля и направленный перпендикулярно к OO'. Потенциал поля зависит от г и удовлетворяет соотношению
Tr ~~Е'-
Если г < R, то дохв = 0и?г = 0,аф = const (внутри цилиндра радиуса R поля нет). Удобно принять эту константу равной нулю, т. е. принять ф = 0 в точках оси OO'.
Если r>R, то <70ХВ = a2nRH и
„ GR CR. г ,
Er = — , Ф = ——1 п- (в СИ),
Cq/ Cq Jtt
Er = ф = -4тшД1п? (в СГС).
Г Xl
Графики зависимостей Er и ф от г (в СИ) показаны на рис. Ш.З.З.
226
ГЛ. III.3. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
4°. Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с объемной плотностью р по объему кругового цилиндра, радиус R которого во много раз меньше длины I образующей.
Вдали от концов заряженного цилиндра и на расстояниях г I от его оси ОСУ поле можно считать осесимметричным — векторы E направлены перпендикулярно оси OO' и радиально от нее (если р > 0) или к ней (если р < 0). Выбирая гауссову поверхность S так же, как в п. 3°, получим, что в области поля, где г <R,
Графики зависимостей Er и ф от г (в СИ) показаны н«9 рис. III.3.4.
5°. Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхностной плотностью о по плоскости.
Эта плоскость (дс = 0) является плоскостью симметрий поля, векторы напряженности E которого направлены перпен-і|
Er = 2лрг и ф = -прг2 (в СГС). В области поля, где г > R,
Er = 27lPg2 и ф = -Tipfl2^l +2 (в СГС).
Eri
р R Р>0
Ф
Рис. III.3.4
§ Ш.З.З. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПОЛЕЙ В ВАКУУМЕ
227
дикулярно к плоскости от нее (если о > 0) или к ней (если
о < 0). За гауссову поверхность S удобно принять поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны к плоскости, а основания площадью AS параллельны ей и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях. Так как векторы E направлены вдоль, оси OX (Е = Exі) и Ex(X) = -Ех(-х), то
I E dS = 2ExAS,aq0XB = cAS,
(S)
где Ex — проекция вектора E на ось OX в точках с координатами х > 0. Таким образом, для точек поля с координатами
х > 0
“ Щ (в Ш)’
Ex = 2їш (в СГС), а для точек поля с координатами х < 0
ст
5>
Ex = -2710 (в СГС).
Общая формула для напряженности в любой точке поля
Ex = 2тш|| (в СГС).
Так как ^ = -Ex, то, полагая потенциал поля равным ну-ах
лю в точках заряженной плоскости х = 0, получим
ф = *В СИ^’ ф = -27ш|дс:| (в СГС).
Ех = ~2Г (вСИ)’
228
ГЛ. III.4. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
CS
G > О
ф!
О
2є0
О
о
х
2е0
Рис. III.3.5
Графики зависимостей Ex и ф от х (в СИ) показаны на рис. ПІ.3.5.
6°. Рассмотренные примеры электростатических полей подтверждают справедливость следующих двух общих выводов:
1) напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность;
2) потенциал поля всегда является непрерывной функцией координат.