Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
При этом удается так выбрать гауссову поверхность (п. 3°), что поток напряженности сквозь нее можно выразить через искомую напряженность поля, не выполняя трудоемкого интегрирования. (Примеры расчета полей см. 1II.3.3.)
5°. С помощью теоремы Остроградского—Гаусса легко доказать одну из основных теорем электростатики — теорему Ирншоу, которая утверждает, что система неподвижных точечных электрических зарядов, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть устойчивой. Произвольный точечный заряд q системы находится в положении устойчивого равновесия, если при любом малом смещении заряда q из этого положения на него действует со стороны электростатического поля E остальных зарядов системы сила F = дЕ, направленная к положению равновесия. Пусть S — замкнутая поверхность, охватывающая заряд q и соответствующая столь малым его смещениям из положения равновесия во всевозможных направлениях, что все другие заряды системы находятся вне этой поверхности. Тогда в случае устойчивого равновесия заряда q должно выполняться условие:
? F dS = q I E dS <0. Однако это соотношение противоре-
(S) (S)
чит теореме Остроградского—Гаусса: замкнутая поверхность S не охватывает заряды, создающие поле Е, и, согласно теореме Остроградского—Гаусса, ^EdS =0.
(S)
216
ГЛ. III.3. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Глава III.3
ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
§ III.3.1. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении в нем электрического заряда
1°. Работа8А, совершаемая кулоновскими силами (111.1.2.1°) при малом перемещении dl точечного заряда q в электростатическом поле, равна
5А = F dl = gE dl = qE dl cos(E, dl),
где E — напряженность поля в месте нахождения заряда q,
dl = |dl| и (Е, dl) — угол между векторами E и dl.
Работа кулоновских сил при конечном перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 равна
2 2
Ах_2 = <zjE dl = q\E dl cos(E, dl). і і
2°. Для поля одного точечного заряда Qi в вакууме
Qi Qi drt
E = --Hri, dl = dr* и Edl = (в СИ),
47СЕ0Г; ^t7lfcO Гі
где г; — радиус-вектор, соединяющий заряд qt с q, а гг = |гг| — расстояние между этими зарядами.
Работа, совершаемая силами поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, равна
ГІ2
= _??l г = S3l(1_ _ 1Л
і-2 4яе0 rf 4яеоиг1 гпг
rH
где Til и гі2 — расстояния от точек 1 и 2 до заряда qt.
В СГС
§ III.3.1. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
217
Для одноименных зарядов q Kqi работа кулоновских сил отталкивания положительна, если заряды удаляются друг от друга, и отрицательна, если сближаются. Работа кулоновских сил притяжения разноименных зарядов положительна при сближении зарядов и отрицательна при их удалении друг от друга.
3°. В вакууме в электростатическом поле системы точечных зарядов qx, q2, qn на точечный заряд q действует сила
п п QQi
F - ? 2 B1 -
І = 1 І = 1 п QQi
F-Z 75-4 (= СГС).
1-і ‘
Работа A1 _2 этой силы при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории заряда q:
^-2 - S її/г—г") (в сгс).
і =! і2
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q вдоль любого замкнутого контура L равна нулю, так как в этом случае ri2 = гп:
f Fdl = 0 .
(L)
Таким образом, электростатическое поле является потенциальным полем (1.3.1.6°).
4°. Циркуляцией напряженности E электрического поля вдоль замкнутого контура L, проведенного в поле, называется линейный интеграл
^Edl = ? ?dZcos(E, dl), (L) (L)
218
ГЛ. Ш.З. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
где Б — напряженность поля в точках малого элемента контура длиной dl, а вектор dl проведен в направлении обхода контура по касательной к нему.
Из соотношений п. 3°, где F = qE, следует, что циркуляция напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура L равна нулю:
Это соотношение, выражающее потенциальный характер электростатического поля (1.3.1.6°), справедливо для поля как в вакууме, так и в веществе.
5°. Электростатическое поле является безвихревым полем, так как его напряженность E удовлетворяет условию
которое вытекает, согласно теореме Стокса (111.14.2.2°), из интегрального соотношения для циркуляции вектора E вдоль; замкнутого контура (п. 4°).
§ III.3.2. Потенциал электростатического поля
1°. Работа &А, совершаемая силами электростатического поля при малом перемещении точечного заряда q в электростатическом поле (111.3.1.1°), равна убыли потенциальной энергии этого заряда в поле (1.3.3.1°):
где Wnl и Wn2 — значения потенциальной энергии заряда q S точках 1 и 2 поля.
2°. Для поля в вакууме системы точечных зарядов qlt q2, ...,
f E dl = 0 .
№)
rot E = O
M = —dWa и A1^ = -AWn = Wnl - Wn2
qn (111.3.1.3°)
(вСИ):
І = I
§ III.3.2. ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
219
Абсолютное значение потенциальной энергии заряда Q в поле может быть найдено только с точностью до произвольной постоянной интегрирования С:
"V-» І 4^; +С (» СИ).
І = 1
wU=Qlyi +С (в СГС),
