Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
о ^ о
= ^kT (ср. 11.3.2.4°).
8°. Относительное движение двух частиц с массами Tn1 и т2 эквивалентно движению одной частйцы с приведенной массой т1т2
тпр =----------. Для однородного газа т1 = т2 = т и т = т/2.
TTL-y ¦ ТҐЬ2
Распределение молекул по их относительным скоростям устанавливает долю dnIL /п0 молекул из общего их числа п0, от-
OTH
носительные скорости Uoth которых лежат в пределах ОТ Uoth до
^OTH ^ ^OTHe
§ И.3.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
143
X expl- IUqth — функция распределения молекул газа по
относительным скоростям.
Пример. Средняя относительная скорость молекул (иотн)
(Uam) = f “отн^Ктн^отн = j2j(8kT)/(nm) = Л(и),
где (и) — средняя арифметическая скорость молекул (п. 6°).
1°. Молекулы воздуха находятся в потенциальном поле тяготения Земли (1.6.2.1°). Если бы этого поля не было, атмосферный воздух рассеялся бы во Вселенной. С другой стороны, если бы не было теплового движения, то молекулы атмосферного воздуха упали бы на Землю. Тяготение и тепловое движение приводят к стационарному состоянию газа, при котором происходит убыль концентрации и давления газа с возрастанием высоты над Землей.
2°. Если газ (или другая система частиц) находится во внешнем потенциальном силовом поле (1.3.1.6°), то распределение частиц по объему описывается законом Больцмана. Закон Больцмана устанавливает число частиц dn(x, у, z), координаты которых находятся в интервалах от х до х + dx, от у до У + dy, от z + dz. Другими словами, dn(x, у, z) есть число молекул, находящихся в элементарном объеме dV = dxdydz. Закон Больцмана имеет вид:
о
§ II.3.4. Распределение частиц в потенциальном силовом поле (распределение Больцмана)
144
ГЛ. II.3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
где юп(х, у, г) — потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле, k — постоянная Больцмана, T — термодинамическая температура. Значение const определяется из условия
нормировки: J dn = nQV, где п0 — общее число частиц в еди-(V)
нице объема.
Пример. Для частиц с массой т, находящихся в поле тяжести Земли, wa = mgh (1.3.3.3°), где g — ускорение силы тяжести (1.7.3.3°), h — высота. На любой высоте имеется максвелловское распределение молекул по скоростям (11.3.3.1°). Число молекул, находящихся в объеме dV,
dn (х, у, z) = const exp dV.
Плотность газа р = убывает с возрастанием высоты по
экспоненциальному закону: р = const exp . Значение
const можно определить из условия: р = P0 = const при h = 0. Плотность газа и его давление изменяются по барометрической формуле:
( mgh\ ( mgh\
р = P0 expl—jy \ и p =p0 exp I -
3°. Распределение молекул газа по координатам и скоростям при наличии произвольного потенциального поля описывается законом (распределением) Максвелла—Больцмана:
( Рх+Ри+Рг\ dn = const exp I -—2mkT~~)dPxdPydPz x
с у* , , ,
x expl ---------\dxdydz ,
где dn — число молекул, находящихся в шестимерном пространстве в элементе объема dr = dxdydzdpxdpydpz, Wn (х, у, г) — потенциальная энергия молекулы во внешнем силовом поле в точке с координатами х, у, z и проекциями импульса по осям
§ II.3.5. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ
145
Px» Py' Pf Закон Максвелла—Больцмана представляет собой произведение двух функций распределения. Одна из них описывает распределение по координатам, а другая — по импульсам (или скоростям).
§ II.3.5. Средняя длина свободного пробега молекул
1°. Молекулы газа имеют конечные размеры (11.1.4.1°) и при тепловом движении непрерывно соударяются друг с другом. Между двумя последовательными соударениями, двигаясь равномерно и прямолинейно, молекулы проходят некоторые расстояния, называемые длинами свободных пробегов X. Средней длиной свободного пробега (X) называется среднее расстояние, которое молекула проходит без столкновения. Средняя длина свободного пробега является характеристикой всей совокупности молекул газа при данных р и Т.
2°. За единицу времени каждая молекула испытывает среднее число соударений (г), равное
(г) = Tid2U0(Uma) = 72 nd2n0(u).
Здесь d — эффективный диаметр молекулы (11.1.4.1°), п0 — число молекул в единице объема газа, (Uoth) — средняя относительная скорость (11.3.3.8°), (и) — средняя арифметическая скорость молекулы (11.3.3.6°).
3°. Среднее расстояние, которое молекула проходит за единицу времени, численно равно (и). Поэтому (и) = (Х)(г). Средняя длина свободного пробега (X):
/TA — (и) = 1
<*> J2nd2n0'
При постоянной температуре п0 пропорционально давлению газа р (11.1.4.5°), и поэтому для данного газа средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:
Pi(X1) = P2(X2) = const.
Индексы 1 и 2 относятся к двум состояниям газа.
4°. Если из некоторого источника частиц («молекулярная печь») вырываются молекулы и с помощью диафрагмы образу-
146
ГЛ. II.3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
ется пучок молекул, то справедлив закон распределения свободных пробегов молекул в пучке:
где N — число молекул в пучке, прошедших без соударений расстояние х, N0 — число молекул в пучке при х = 0, т. е. на выходе из диафрагмы.
