Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
3°. Для однородного газа mt = т — массы всех молекул одинаковы, но скорости Ui различны (II.3.3.1 ) и
» = і
Средняя квадратичная скорость Dkb поступательного движения молекул газа равна:
где N — общее число молекул в объеме V. Средняя квадратичная скорость характеризует всю совокупность молекул и не имеет смысла применительно к одной молекуле или неболь-
PV - I Hv
f = I
§ II. 3.2. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 139
шому числу молекул. Выражение для Wk при введении Vh имеет вид
W, - jWrne*.
и
pV Nmv^ = I Mu*,,
где M = Nm — масса газа.
Основное уравнение для давления газа:
2 1 1
P = QwKn = = оР^кв»
Wk N
где Wlto = -у-, Ti0 = — — число молекул в единице объема,
р = п0т — плотность газа.
4°. Из сравнения уравнения Менделеева—Клапейрона (11.1.4.4°) с основным уравнением (п. 3°) следует, что
RT
1 2 -3^в и
икв = л/3 RT/\x. = JdRT/(mNA) = JbkrTm = 1,7Sjpv,
где k — постоянная Больцмана (11.1.4.5°), т — масса молекулы, Na — постоянная Авогадро (IX), р — давление газа, v — его удельный объем.
5°. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа'.
,2
Iw ) = =
'“V N
W mv 3,_ к - ^ = ^kT.
Средняя энергия (wK) прямо пропорциональна термодинамической температуре и больше ни от чего не зависит (рис. II.3.1). Термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа.
Рис. II.3.1
140 ГЛ. II.3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
§ II.3.3. Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям и энергиям (максвелловский закон распределения молекул по скоростям и энергиям)
1°. Закон распределения молекул газа по скоростям, теоретически установленный Максвеллом, определяет, какое число dn молекул газа из общего числа п0 его молекул в единице объема имеет при данной температуре скорости, заключенные в интервале от и до и + du. Закон применим для газов в состоянии термодинамического равновесия (11.1.3.3°). Распределение молекул такого газа по скоростям является стационарным. Максвелловское распределение устанавливается в результате парных столкновений хаотически движущихся молекул газа. При этом распределение молекул по объему сосуда определяется законом Больцмана (11.3.4.2°).
2°. Наиболее употребительная форма закона распределения молекул по модулям скоростей
dn = п,
( т Y
Ґ ти2\ V 2kT)
4тiu2du.
3/2
1\шт) ехр|
Здесь и — модуль скорости молекулы, т — масса молекулы, k — постоянная Больцмана, T — термодинамическая температура.
На рис. II.3.2 изображены^ кривые распределения молекул по скоростям при различных температурах T1 < T2 < T3. Из кривых видно, что с повышением температуры наиболее вероятная скорость молекул ив (п. 4°) возрастает.
3°. Распределение Максвелла применяется также в форме
dn = п,
т \ ъ{2пкТ)
3/2
ехр -
Ґ ти2\ \2kTj
„. і du du du .
OhrV Jxyz *
Рис. II.3.2
Рис. II.3.3
§ ІІ.З.З. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
141
где Ux, Uy и Uz — проекции скорости молекулы по осям координат, и2 = их + Uy + и%, a dn/n0 — доля молекул, проекции скоростей которых заключены в пределах от их до Ux + dux, от Uy до иу + duy и от иг до иг + duz. Ввиду хаотичности теплового движения молекул (11.1.1.1°) распределения молекул по проекциям скоростей Ui на оси координат (і = х, у, z) взаимно независимы, и поэтому
есть функция распределения молекул по проекциям скоростей.
Распределение Максвелла изотропно. Это проявляется в том, что функция i(ux, иу, uz) зависит только от модуля скорости, а функция f(ut) одинакова по всем осям.
4°. Из закона распределения молекул по скоростям (п. 2°) можно определить наиболее вероятную скорость молекул ив, соответствующую максимуму функции
5°. Третий вид закона распределения молекул по скоростям:
Доля молекул газа dn/n0, скорости которых лежат в интервале от и до и + du, численно равна площади dS заштрихованной криволинейной трапеции на рис. И.3.3, где приведена
dn = п0f(их) f{uy) f(uz) duxduyduz,
где
Условие
uB = j2kT/m = j2RT/\i - иквл/2/3.
иъ dn и кривая зависимости —~г~ от — :
n0du и
142
ГЛ. II.3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ
Площадь, ограниченная кривой (рис. П.3.3) и осью абсцисс, равна единице. Эта площадь характеризует долю молекул, имеющих всевозможные значения скоростей от 0 до оо.
6°. Средняя арифметическая скорость (и) поступательного движения молекул любого газа, вычисленная с помощью закона распределения (п. 2°):
(и) = икв//8/(371) = j8RT/n\i = JbkTTnm = 1,60 Jpv .
7°. Распределение молекул одноатомного газа по энергиям определяет долю dnw/n0 молекул, которые из общего числа п0 молекул имеют кинетические энергии wK = (ти2)/2, заключенные в интервале от wK до wK + dwK:
2 пп г w \ і
dTlw = ^ (АГ)3/2 еХН_
dn
Здесь ----- = f{wK)dwK, где f(wK) — функция распределения
Ti0
молекул газа по энергиям.
Пример. Средняя кинетическая энергия (W1) молекулы одноатомного газа
OO OO
(wK) = J wKf(wK)dwK = J^fTT2 J1и>кехр(- JuTKdwK=
