Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
Правильны рассуждения, изложенные в п. 6°, поскольку они основаны на использовании инерциальной (земной) системы отсчета. Соответственно рассуждения в начале п. 7°, приведшие к парадоксу часов, ошибочны.
82
ГЛ. 1.5. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
8°. Интервалом, или пространственно-временным интервалом, между двумя событиями, измеренным в инерциальной системе отсчета К', называется величина
8 12 = Jc 12) - (I 12) »
где f'12 = t'2-t' 1 — промежуток времени между рассматриваемыми событиями (по часам в системе отсчета К'), а
I'12 = Jix '2-х\)2 + (у' 2 - У 'i)2 + (г '2 - 2 'i)2 — расстояние между точками, в которых совершаются события 1 и 2, измеренное также в системе отсчета К'.
Из преобразований Лоренца следует, что интервал между данными двумя событиями 1 и 2 инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, т. е. не изменяется при переходе от движущейся инерциальной системы отсчета К' к неподвижной системе К:
S'l2 =S12 = inv,
где
' I 2 2 7ІГ ®12 л/С *12 — 12 *
2
Если S12 > 0, т. е. S12 — действительное число, то интервал S12 называется времениподобным интервалом.
Интервал S12 называется пространственноподобным ин-
2
тервалом, если S12 < 0, т. е. S12 — мнимое число.
9°. Из инвариантности интервала по отношению к выбору инерциальной системы отсчета К' следует, что во всех системах отсчета К' значения t '12 и I112 Для данных двух событий 1 и 2 удовлетворяют уравнению гиперболы:
С 12) ~ 12) ~ ®12•
Если S12 > 0, то связь между Ґ12 и Г12 в различных инерциальных системах отсчета К', движущихся относительно неподвижной системы отсчета К со всевозможными скоростями (О < V < с), изображается графически в виде двух ветвей ги-
§ 1.5.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ
83
перболы I Vi II (рис. 1.5.3). Следовательно, знак промежутка времени между событиями 1 и 2, связанными времениподобным интервалом, абсолютен. Он не зависит от выбора инерциальной системы отсчета: во всех системах отсчета К' второе событие происходит либо всегда позже первого, т. е. V12 >0 (ветвь I), либо всегда раньше
первого, т. е. t'12 < 0 (ветвь II). Расстояние V12 относительно, причем можно указать такую инерциальную систему отсчета
К', в которой V12 = 0, т. е. события 1 и 2 совершаются в одном и
том же месте (точки А и Б на ветвях гиперболы I и II).
Двум событиям, связанным причинно-следственной связью, всегда должен соответствовать времениподобный интервал или, в крайнем случае, интервал, равный нулю (s12 = 0). Это обусловлено тем, что сигнал, посредством которого событие 1 (причина) вызывает появление события 2 (следствие), не может распространяться в пространстве со скоростью, превосходящей скорость света в вакууме: T12 < c(t'2 -t\).
10°. В случае событий, связанных пространственноподоб-
ным интервалом (s12 <0), знак f'12 относителен: V12 > 0 (верхняя часть гиперболы III на рис. 1.5.3) в одних инерциальных системах отсчета Ка в других t'12 < 0 (нижняя часть гиперболы III). Точка С соответствует системе отсчета К', в которой *12 = 0» т. е. события 1 и 2 происходят одновременно.
§ 1.5.5. Преобразование скоростей и ускорений в релятивистской кинематике
1°. Значения V и v' скорости материальной точки в двух инерциальных системах отсчета KnK' равны:
v = ^ = vxi + vyj + v2k, v' = jp = v'xA' + v'y.y + v'2'k',
где г = xi + г/j + zk и г' = х'ї + у'j' + z'k' — радиусы-векторы
84
ГЛ. 1.5. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
рассматриваемой точки в системах отсчета К и К'. Проекции скоростей V и v' на оси декартовых координат равны:
_ dx _ dy _ dz Vx dt’Vy dt,Vг dt;
, dx' , dy' , dz'
v*' = -dr'v*'=dr^v*'=dP'
Если сходственные оси декартовых координат систем отсчета Kf и К попарно параллельны и система Kf движется относительно К с постоянной скоростью V, направленной вдоль оси OX (рис. 1.2.3, см. 1.2.8.1°), причем в момент начала отсчета времени в К и Kf (t = 0 и t' = 0) начала координат О и О' этих систем отсчета совпадают, то справедливы преобразования Лоренца в форме 1.5.3.2°. Из этих преобразований следует, что связь между проекциями скоростей точки на оси декартовых координат в системах KnK' имеет вид:
vx-V v'x. + V
V = ------------т, V =
X 2’ * . 2’
I - VvxZc I + VvfxVc
V Jl-V2Zc2 v' ,Jl-V2Zc2
v y' = ----------2~’ vy = ----------Г’
I -VvxZe2 I +Vvfx-Zc2
VJl-V2Ze2 VfzJl -V2Ze2
Vz- = ---------Г, Vz = ------------г.
I -VvxZe 1 +VvfxVe
Эти формулы выражают закон сложения скоростей в релятивистской кинематике. В пределе при с они приводят
к обычному закону сложения скоростей в классической механике (1.2.8.2е):
v'x' = vx~V’v'y' = Vy>V'z' = VzVlV =v-V.
2°. Связь между квадратами модулей векторов v и V
2 2 V=C
± [I-(VfZc)2Ul-V2Zc2) (I +VvfxVc2)2
§ 1.5.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ
85
и
(I — у2/с2)(I - V2Zс2) (I-VvxZc2)
В частности, если v' = с, то v = с, и наоборот. Итак, если скорость частицы относительно какой-либо инерциальной системы отсчета равна скорости света в вакууме, то она должна быть такой же по величине относительно любой другой инерциальной системы отсчета независимо от скорости относительного движения этих систем отсчета. Иначе говоря, сумма двух скоростей, из которых одна равна с, всегда равна с. В этой закономерности, обнаруживающейся при движении таких элементарных частиц, как фотоны (V.6.1.40), проявляется предельный характер скорости света в вакууме (1.5.1.3°).
