Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
. V
гих волн с длинами волн, превосходящими Amhh = ----------, где
vMaKC
V — скорость соответствующей упругой волны, vMaKC — ее час-тота. Длина волны Amhh должна быть соизмерима с периодом
608
ГЛ. VII.2. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
решетки, т. е. Амин ~ d — ( — ] , где N — число частиц (узлов
кристаллической решетки) в кристалле объемом V.
5°. Упругие волны в кристалле имеют квантовые свойства, проявляющиеся в том, что существует наименьшая порция — квант энергии волны с данной частотой V. Это позволяет сопоставить волне с частотой V квазичастицы — фонолы, распространению которых со скоростью звука v соответствует звуковая волна.
Фонон обладает энергией W = hv, где h — постоянная Планка (IX), и квазиимпульсом р = ~ • Квазиимпулъс фонона р
имеет направление, совпадающее с направлением распространения звуковой волны. Наиболее существенное отличие квазиимпульса от импульса состоит в том, что при столкновении фононов в кристаллах квазиимпульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке — он при этом
Короче говоря, подобно тому как квантование электромагнитного поля приводит к фотонам (V.6.1.4°), квантование звукового поля приводит к фононам.
6°. Спин фононов равен нулю, поэтому они подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна (VII.2.2.2°). Фононы могут испускаться и поглощаться, а их число не сохраняется постоянным при изменении температуры. Поэтому химический потенциал фононного газа (VII.2.2.3°) равен нулю (ср. VII.2.2.60).
Энергия кристалла может рассматриваться как энергия фононного газа и вычисляться аналогично тому, как это сделано в Vn.2.2.6°. Число dN фононов с частотами в интервале от v до V + dv
не сохраняется1.
dN =
dg
1 Детальное рассмотрение свойств квазичастиц, связанное с ролью периодичности структуры кристалла, выходит за рамки данного справоч ника.
§ VII.2.7. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
609
где для кристалла объемом V
_ 4np4pV _ 4тtvfdv dg 6 h3 и3 ’
hv
а р = — — квазиимпульс фонона, v — скорость звука в кристалле. Коэффициент 3 учитывает, что в твердом теле могут распространяться продольные и поперечные волны с двумя взаимно перпендикулярными поляризациями1 (IV.4.1.8°). Таким образом,
..г 12nv2dvV
dN =-----------------.
(hv'
""[expG^)-iI
(SNV/A
гДе vMaKc = v T~\r — верхняя граница частот фононов, вно-
Внутренняя энергия U (11.2.1.2°) кристалла (с точностью до нулевой энергии)
V V
макс ^макс
V= j hvdN - J —^-,
’ • 4?)-1
W'3
сящих вклад в энергию тепловых колебаний кристалла. В п. 4° приведена оценка vMaKC по порядку величины.
При вычислении U вводится характеристическая темпе-
¦п * т AVMaKC
ратура Дебая Td = —^— и рассматриваются два предельных случая:
а) Высокие температуры Г» Td. При этом
(hv\ , hv exp — I - I ~ —
\kT) JtT
и
„ 12 ItV1m Г 9, 12 Я Vfc Tv макс
U = —7^-kT V2 dv =- -— = SNkT.
V6 V6 *
1 Мы не учитываем различия скоростей продольных и поперечных волн и просто увеличиваем втрое число квантовых состояний фононов.
610
ГЛ. VII.2. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Для одного моля кристалла N = Na, где Na — постоянная Авогадро (IX), и молярная теплоемкость Cja соответствует правилу Дюлонга и Пти (п. 2°):
Cll = Щі = 3NAk = SR.
б) Низкие температуры T <SC Тр. При вычислении
V
макс
г v3dv
интеграла J ех (/^v/feT)—T ввоДится новая переменная о
E1 — hvfkT и верхний предел заменяется на 00,
V макс 00
= 12nVh Г dx = IZnVhfhT^= 4тi5fe4F
и3 J /'ЛуЛ у3 IftJ е^-1 5Л3и3
0 expI1MiJ-1 0
Теплоемкость Cv пропорциональна кубу термодинамической температуры (закон Дебая):
„ 3V 16ж*к4УТ* , „а
СГ~дТ- 5ft3u^ = COnst T
§ VII.2.8. Понятие о зонной теории твердых тел
1°. Дальний порядок в кристаллах (VII. 1.1.1°) приводит к тому, что в твердых телах существует электрическое поле, которое является периодической функцией координат. В металле, например, где положительные ионы расположены в узлах решетки в строгом порядке, потенциальная энергия электрона изменяется вдоль некоторого направления OX так, как показано на рис. Vn.2.10. Минимумы энергии соответствуют местам,
где расположены положительные , ионы.
2°. Периодическое электриче-. © ¦ © ¦ © „ © „ © г- ское поле в кристалле любого ТИ-, \ А А А А X па (VII.1.1.3°) существенно изме-« I ' I ‘ ' ' I ' няет энергетические состояния
электронов в твердом теле по Рис. VII.2.10 сравнению с их состоянием в изо-
о
§ VII.2.8. ПОНЯТИЕ О ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
611
лированных атомах. В изолированных атомах электроны находятся в дискретных энергетических состояниях (VI.1.2.50). В твердом теле энергетические состояния электронов определяются как взаимодействием их с ядром своего атома, так и электрическим полем кристаллической решетки, т. е. взаимодействием с другими атомами. В результате этого взаимодействия энергетические уровни электронов расщепляются. Вместо дискретного энергетического уровня, характерного для изолированного атома, в твердом теле, содержащем N взаимодействующих атомов, возникает N близко расположенных друг от друга энергетических уровней, которые образуют энергетическую полосу (энергетическую зону). В кристаллах образуется зонный энергетический спектр электронов.