Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
Из третьего закона Ньютона (1.2.5.1°) следует, что моменты относительно полюса О внутренних сил взаимодействия материальных точек системы попарно компенсируются: [rfFife] = = -[rfeFfti], Следовательно, при вычислении главного момента сил нужно учитывать только внешние силы, действующие на рассматриваемую механическую систему.
3°. Моментом силы F относительно неподвижной оси а называется величина Ma, равная проекции на эту ось вектора M момента силы F относительно произвольной точки О оси а. Значение момента Ma не зависит от выбора положения точки
О на оси а.
П
м- XIr1F1J,
58
ГЛ. 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
O1
О
Примечание. Иногда под моментом силы относительно неподвижной оси а понимают векторную величину M0 = = Ма\а, где \а — орт оси а. Вектор Ma — составляющая вектора M момента силы относительно полюса О, направленная вдоль оси а.
Если линия действия силы пересекает ось или параллельна ей, то момент Рис. 1.4.2 силы относительно этой оси равен
нулю.
Пусть А — точка приложения силы F, а O1 — основание перпендикуляра, опущенного из точки А на рассматриваемую ось OZ (рис. 1.4.2). Силу F удобно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие: осевую Fz, параллельную оси, радиальную Fn, направленную вдоль вектора р = O1A, и касательную Ft, направленную перпендикулярно к оси и вектору р. Момент силы F относительно оси OZ
M2 = [pFT]2, а Мг = [pFJ.
Так как векторы р и Ft взаимно перпендикулярны, то
ImJ = |мг| = P|FJ.
Главный момент (результирующий момент) относительно неподвижной оси а системы сил равен алгебраической сумме моментов относительно этой оси всех сил системы.
4°. Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки О (полюса) называется вектор L, равный векторному произведению радиуса-вектора г, проведенного из полюса О в место нахождения материальной точки, на вектор р ее импульса:
L = [гр] = [rmv],
где т и V — масса и скорость материальной точки.
Моментом импульса системы относительно неподвижной точки О называется геометрическая сумма L моментов импульса относительно той же точки О всех материальных точек системы:
п п
L = E [riPil = Z [FjOTiVi] ,
і = 1 і = I
§ 1.4.1. МОМЕНТ СИЛЫ И МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
59
где Tni, Ti и Vi — масса, радиус-вектор и скорость і-й материальной точки, а п — общее число этих точек в системе.
Моментом импульса системы относительно неподвижной оси а называется величина La, равная проекции на эту ось вектора L момента импульса системы относительно какой-либо точки О, принадлежащей этой оси:
Tl
La= X IrImivJa ‘ г = і
Выбор положения точки О на оси а не влияет на числовое значение величины La.
Примечание. Иногда под моментом импульса системы относительно неподвижной оси а понимают векторную величину К = где ‘а — 0Pt оси а.
5°. Момент импульса тела относительно неподвижной точки О, вокруг которой это тело вращается с угловой скоростью ш, равен:
L=J [rv]dm = J [г [cor]]dni,
(m) (те)
где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в малый элемент тела массой dm, a v = [юг] — скорость этого элемента тела. Поскольку [г[<вг]] = г2ф - (сог)г, векторы L и со в общем случае не совпадают по направлению:
L = со { г2 dm- J (сог)г dm.
(m) (m)
Момент импульса тела, закрепленного в точке О, и его угловая скорость совпадают по направлению, если тело вращается вокруг одной из его главных осей инерции в точке О (1.4.2.4°),
L = Jto,
где J — момент инерции тела (1.4.2.1°) относительно этой главной оси.
6°. Значения M и М* главного момента системы сил относительно двух различных неподвижных точек О и О* связаны соотношением:
M = M*+ [r*F],
60
ГЛ. 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
где г* — радиус-вектор, проведенный из начала О в точку О*, a F — главный вектор рассматриваемой системы сил. Если F = 0, то главный момент системы сил одинаков по отношению к любой неподвижной точке: М* = М. Именно таким свойством обладает пара сил, т. е. система из двух сил, которые численно равны друг другу и направлены вдоль параллельных прямых в противоположные стороны. Кратчайшее расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары. Момент пары сил направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен M — Fd, где F — модуль каждой из сил пары.
Главный момент Mc относительно центра масс С механической системы (1.2.3.3°) всех действующих на нее сил связан с главным моментом M этой же системы сил относительно неподвижной точки О соотношением:
M = Mc + [rcF],
где гс — радиус-вектор, проведенный из начала О в точку С, F — главный вектор системы сил.
7°. Значения момента импульса механической системы относительно ее центра масс С для абсолютного движения точек со скоростями Vi (т. е. относительно неподвижной инерциальной системы отсчета) и для их относительного движения CO скоростями v'( = Vi - vc (т. е. относительно поступательно движущейся системы отсчета с началом в точке С) одинаковы:
