Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
4°. В квантовой статистике рассматривается зависимость числа Ni частиц равновесной системы, имеющих энергию Wi (т. е. «находящихся» в gt ячейках ^-пространства), от термодинамической температуры T и энергии Wi. Отношение NtJgii показывающее среднюю «заселенность» ячеек частицами, называется функцией распределения /:
- =KTtWi).
§ VII.2.2. Функции распределения Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака
1°. Частицы с целым или нулевым спином (в единицах Й) называются бозонами (например, фотоны, фононы и некоторые ядра). Системы таких частиц описываются квантовой статистикой Бозе—Эйнштейна. Бозоны не подчиняются принципу Паули (VI.2.3.10), и для них не накладываются ограничения на число частиц, которые могут находиться в одной и той же ячейке фазового (х-пространства.
'§ VII.2.2. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
589
2°. Функция распределения (VII.2.1.4°) для системы тождественных бозонов называется функцией распределения Бозе—Эйнштейна /Б. Для отыскания функции /б рассматривается термодинамическая вероятность P (11.4.5.2°) распределения частиц системы по квантовым состояниям и находится наиболее вероятное распределение при условии сохранения числа частиц JV в системе и внутренней энергии U системы:
Суммирование производится по всем квантовым состояниям системы.
3°. Метод неопределенных множителей Лагранжа при отыскании условного экстремума позволяет получить следующее выражение для функции распределения Бозе—Эйнштейна:
Здесь k — постоянная Больцмана (11.1.4.5°), T — термодинамическая температура, ц — химический потенциал частиц в системе. Величина ц равна частной производной от энергии U системы по числу N частиц в ней при условии, что объем V и
4°. Частицы с полуцелым спином (в единицах h = h/2n) называются фермионами (электроны, протоны, нейтроны и др.). Системы фермионов описываются квантовой статистикой Ферми—Дирака. Фермионы подчиняются принципу Паули (VI.2.3.10), и в данном квантовом состоянии системы фермионов не может находиться более одной частицы.
5°. Функция распределения (VII.2.1.4°) для системы тождественных фермионов называется функцией распределения Ферми—Дирака /ф. Решение задачи о наиболее вероятном распределении фермионов по состояниям при условии сохранения
^Ni=N, ^NiWi=U.
1
энтропия S системы не изменяются: [X =
590
ГЛ. VII.2. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА ТВЕРДЫХ TEJ^
в системе полной энергии U и полного числа N ее частиц приводит к следующему виду функции fф:
/ф =
expO^-J + 1
Смысл |х см. в п. 3°.
6°. Функции распределения в классической и квантовых статистиках, введенные как среднее число частиц в одном состоянии, могут быть выражены единой формулой
^ dN 1
/ =
dg (Wi-Vi
expI-Mr-J+8
Для распределения Максвелла—Больцмана (11.3.4.3°) 8=0, для распределения Бозе—Эйнштейна 8 = -1, для распределения Ферми—Дирака 8 = +1.
Пример. В полости объема V при T = const в состоянии термодинамического равновесия со стенками находится излучение абсолютно черного тела (V.5.1.80). Его можно рассматривать как газ фотонов, подчиняющийся статистике Бозе—Эйнштейна, ибо спин фотона равен h. Число ячеек фазового пространства, соответствующих интервалу энергии фотонов от W до W + dW, равно
„471p2dpV 8 nW2dW„
to’2 tfi-----------
где p — импульс фотона (V.6.2.20), связанный с его энергией
W
W соотношением р = — , с — скорость света в вакууме. Коэффициент 2 появляется в связи с тем, что существуют две независимые поляризации света (IV.4.1.80). Энергия фотона W = ftv (V.6.1.4°), где V — частота.
Число фотонов с частотами в интервале от v до v + dv в объеме V равно dN = ffidg и, согласно п. 3°,
JX. dg 8 nv2dvV
dN =
fhv^ „ 0г fhv\ і
§ VII.2.3. ВЫРОЖДЕНИЕ СИСТЕМ ЧАСТИЦ
591
; При этом учтено, что для фотонного газа, в котором не выполняется условие сохранения полного числа частиц, химический потенциал ц (п. 3°) равен нулю.
Спектральная плотность объемной плотности энергии излучения в интервале частот от V до v + dv
Этот результат является формулой Планка для спектральной плотности объемной плотности энергии равновесного излучения (V.5.3.20).
§ VII.2.3. Понятие о вырождении систем частиц, описываемых квантовыми статистиками
1°. Система частиц (в частности, идеальный газ) называется вырожденной, если ее свойства, описываемые квантовыми закономерностями, отличаются от свойств обычных систем, подчиняющихся классическим законам. Отступление в поведении бозе- и ферми-газов от классического максвелл-больц-мановского газа называется вырождением газов (вырожденный газ). Вырождение газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях (п. 3°).
2°. Параметром вырождения А называется величина
где ц — химический потенциал (VII.2.2.30). При условии А ¦С 1 (малость вырождения) в квантовых функциях распределения /б и fф можно пренебречь единицей в знаменателях и эти функции переходят в классическую функцию распределения /м—Б Максвелла—Больцмана (11.3.4.3°):
hvdN 87iv2 hv
V dv с3
Химический дотенциал и параметр вырождения находятся из условия нормировки функций распределения ftp или
