Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
циллятора совпадают с величинами квантованной энергии осциллятора Wn = TihdiQt которые постулировал Планк в теории излучения абсолютно черного тела (V.5.1.50).
6°. Наименьшая энергия, которую может иметь линейный гармонический осциллятор, называется нулевой энергией W0:
Рис. VI. 1.4
Wq =
Jtvn ha> п
(при п =0)
2 2
В классической физике и в теории Планка считалось, что Wq = 0 (при п = 0). Это означает, что осциллятор не колеблется и находится в положении равновесия. Атомы-осцилляторы при температуре абсолютного нуля (Т = 0) не должны, согласно классической физике, совершать колебания. В квантовой механике доказано, что нулевая энергия гармонического ос* циллятора не может быть от него отнята при любом охлажде-
§ VI.1.5. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
543
нии, вплоть до абсолютного нуля (11.4.8.4°). Нулевой энергии осциллятора соответствуют его нулевые колебания. В квантовой механике нулевая энергия является характерным признаком любой системы частиц. При температурах, близких к абсолютному нулю, вещество находится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы) рассматриваются как колеблющиеся осцилляторы. Нулевая энергия является наименьшей энергией, которой должен обладать квантовый осциллятор в наинизшем энергетическом состоянии (при п = 0) для того, чтобы выполнялись соотношения неопределенностей (VI.1.6.20).
7°. Вероятность обнаружить квантовый линейный гармонический осциллятор на оси OX в области от х до х + dx:
Ркв(х) dx = Ivn(^)I2 dx.
На рис. VI. 1.5 сопоставлены квантовая плотность вероятности при п = 1 с классической плотностью вероятности ркл(х). Существование отличных от нуля значений ркв(х) за пределами классически дозволенной области |х| < а объясняется возможностью просачивания частиц, обладающих волновыми свойствами, сквозь потенциальный барьер (VI.1.7.2°).
8°. С увеличением числа п кривая распределения вероятностей IvJ2. изображенная на рис. VI.1.6 для п = 10, все более сближается с классической кривой вероятности (рис. VI. 1.3), что согласуется с принципом соответствия Бора (VI.1.4.4°).
Рис. VI.1.5
Рис. VI. 1.6
544
ГЛ. VI.1. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
<Щ>
кТ
9°. Используя собственные значения энергии линейного гармонического осциллятора, можно подсчитать среднюю энергию (W) такого осциллятора:
О
ю0
Рис. VI. 1.7
С точностью до нулевой энергии (W) выражается членом (W1), который был получен Планком при создании им теории теплового излучения абсолютно черного тела. Графически этот
член представлен на рис. VI. 1.7 при T = const как функция частоты. Видно, что наибольший вклад в (Wj) вносят колебания с малыми частотами, соответствующими большим длинам волн. При высокой температуре (kT Йсйд)
Результат совпадает с тем, который получается из закона равномерного распределения энергии по степеням свободы (11.3.6.5°).
§ VI. 1.6. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
1°. Волновые свойства микрочастиц (VI. 1.1.4°) вносят ограничения в возможность применять к таким частицам понятия координаты и импульса в их классическом смысле.
В классической физике также существуют ограничения в применении некоторых понятий к определенным объектам. Так, понятие температуры не имеет смысла применять для одной молекулы, понятие о точной локализации (пребывание в одной точке) неприменимо к определению положения в пространстве волны и т. д. Однако в классической механике определенному значению координаты частицы соответствуют точные значения ее скорости и импульса. В квантовой механике существуют ограничения в возможности одновременного точного определения координаты частицы и величины ее импуль-
§ VI. 1.6. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА 545
са. Эти ограничения связаны с корпускулярно-волновой двойственностью свойств микрочастиц (VI. 1.1.3°).
2°. Соотношениями неопределенностей Гейзенберга называются неравенства
Ax • Арх > h, Ay APy > h, Az • Apz > Л.
Здесь Ах, Ay и Az означают интервалы координат, в которых может быть локализована частица, описываемая волной де Бройля (VI. 1.1.2°), если проекции ее импульса по осям координат заключены в интервалах Apx, Apy и Apz соответственно.
Примечание. Иногда соотношения неопределенностей Гейзенберга записывают также в виде Ax • Apx > Й/2, Ay • APy > Й/2, Az • APz > Й/2. При этом под Ах, Ау, Az, Apx, Apy и Apz понимают среднеквадратичные отклонения координат и проекций импульса
частицы от их средних значений (Ах = J(Ах2) — *J(x2) - (х)2 и т. д.).
Соотношения Гейзенберга показывают, что координаты частицы х, у, г и проекции рх, Ру, р2 ее импульса на соответствующие оси не могут одновременно иметь значения в точности равные х и рх, у и Ру, z и рг. Эти физические величины могут иметь значения, заданные с точностью, определяемой соотношениями Гейзенберга. Чем более точно определено положение частицы, т. е. чем меньше Ах, Ay и Az, тем менее точно определены значения проекций ее импульса (т. е. тем больше Apx, Apy и APz). Если положение частицы на оси OX определено точно и Ax = 0, то Apx = оо и значение проекции импульса рх становится совершенно неопределенным.
