Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
х=0 x = L X С/ = О при О < х < L,
Рис. VI.1.1 17 = оо при х < О и х > L.
§ VI. 1.4. ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 539
2°. Стационарное уравнение Шредингера (VI.1.2.50) для частицы в потенциальной яме, рассмотренной в п. 1°, имеет вид
d2w 2m„. dx2 Ъ2 v
при краевых условиях \j/(0) = \\/(L) = 0, означающих, что \|/ = О
и M2 = 0 вне области 0 < х < L, т. е. что вероятность найти частицу вне потенциальной ямы равна нулю.
Решение уравнения Шредингера:
ij/(x) = A cos kx + В sin kx,
ЛmW
где А и В — постоянные, k = —щ— — волновое число
(VI.1.1.40). Из краевых условий следует, что А = 0; В Ф 0 и sin kL = 0, т. е. волновое число принимает ряд дискретных значений, соответствующих требованию knL — пп, где п — 1, 2, 3, ... Последнее уравнение означает, что
2л пп . 2 L
На длине потенциальной ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля.
3°. Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными (квантование физических величин). Собственные значения энергии Wn частицы в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины
П2712й2
w"-l<" - 2’ •¦•)
представляют собой дискретный ряд значений энергии, которая является квантованной.
Квантованные значения Wn называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы в потенциальной яме, называется квантовым числом.
4°. При больших квантовых числах (n » 1) происходит относительное сближение энергетических уровней частицы в по-
ДЖ 2
тенциальной яме; отношение ^ 1, где AW = Wn + і -
540
ГЛ. VI.1. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
U2H2
- Wn = (2п+ I)2mL2 • Неравенство AW Wn при и » 1 означает, что квантование энергии при больших квантовых числах дает результаты, близкие к результатам, ко*горые получаются в классической физике, — энергетические уровни становятся квазинепрерывными (квазинепрерывностъ энергетических уровней при п 1).
Принцип соответствия Бора: выводы и результаты квантовой механики при больших квантовых числах должны соответствовать классическим результатам.
Более общая формулировка принципа соответствия: между любой физической теорией, которая является развитием классической, и первоначальной классической существует закономерная связь — в определенных предельных случаях новая теория должна переходить в старую. Например, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят в формулы механики Ньютона при таких скоро-
стях, когда (v/c) <? I (1.5.3.4°). Геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики, если можно пренебречь величиной длины волны (Я —» 0).
§ VI.1.5. Линейный гармонический осциллятор
1°. Линейным одномерным гармоническим осциллятором называется частица с массой т, которая колеблется с собственной циклической частотой CDq (IV. 1.1.2°) вдоль некоторой оси OX под действием квазиупругой силы Fx, пропорциональной отклонению X частицы от положения равновесия: Fx = —kx. Здесь k — коэффициент квазиупругой силы, связанный с т и
л
(Oq соотношением k = тщ (IV.1.2.3°). Потенциальная энергия гармонического осциллятора (IV.1.2.30)
ти \ kx2
U(x) = —.
2°. Амплитуда (IV. 1.1.3°) малых колебаний гармонического осциллятора в классической физике определяется запасом его энергии W (рис. VI.1.2). В точках Б иА с координатами ±а энер-
§ VI.1.5. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 541
, Ща)
гия W равна потенциальной энергии: W = ¦{ , где а — ам-
|17(-а)
плитуда колебаний классического гармонического осциллятора. За пределы области (-а, +а) такой осциллятор выйти не может.
3°. Вероятность pKJI(jc) dx обнаружить осциллятор на отрезке от х до х + dx по классической механике
Ркл (*)dx =
dx
ла(1-х2/а2)1/2
изображается кривой рисунка VLl .3.
4°. В квантовой механике колебания линейного гармонического осциллятора изучаются с помощью стационарного уравнения Шредингера (VI. 1.2.5°)
Решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям (VI. 1.1.4°), — собственные волновые функции линейного гармонического осциллятора
1
V71(X) =
!вЧ*/2 Hn(Z),
?=-
Jx0-Zn-TilJk
где п = 0, 1, 2, ... — квантовое число, Xq = Jh/2nm(n0, Hn(Z) — полином Эрмита п-го порядка
dn
Рис. VI.1.2
Рис. VI.1.3
542
ГЛ. VI. 1. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Собственные функции для п = 0, 1, 2:
Vo(*) =
-X2/2 хІ
Jx0Jn V2(*) =
Vl(*) =
I_____2x _*2/2x1
^x0JnxO
T^=Ii-1-2)
Js X0Jic- xO '
x2/2xn
Узлом волновой функции называется точка, где \|/(:к) = 0. Число узлов функции \|/„ равно квантовому числу п.
5°. Собственные значения энергии Wn линейного гармонического осциллятора
wn = [n + ftv0 = + Ij Ы0 (п = О, 1, 2, ...),
OD0
где V0 = , CO0 — собственная циклическая частота (п. 1°),
представляют собой совокупность равноотстоящих друг от
друга энергетических уровней, изображенных на рис. VI. 1.4. При п 1
п = 2 п = 1 и =0
W
0
5Йю0/2
ЗЙю0/2
Йю0/2
игс + 1
¦ п энергетические уровни ос-
