Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
ОТДЕЛ VI
Физика атомов и молекул
Глава VI. 1 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ VI. 1.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества
1°. Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике1. Объекты микромира, изучаемые квантовой механикой, имеют линейные размеры, по-
_Л _-J Q
рядка 10 -10 см. Если частицы движутся со скоростями
V с, где с — скорость света в вакууме, то применяется нерелятивистская квантовая механика; при v < с — релятивистская квантовая механика2.
2°. В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов (V.5.3.20), Эйнштейна о фотонах (V.6.1.4°), данные о кванто-ванности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определенных условиях состояния частиц микромира.
3°. Основополагающей в квантовой механике служит идея о том, что корпускулярно-волновая двойственность свойств, установленная для света (V.6.4.10), имеет универсальный характер. Все движущиеся частицы обладают волновыми свойствами.
1 В период ее создания она называлась также волновой механикой.
2 Сведения о релятивистской квантовой механике выходят за рамки данного справочника. Везде под термином «квантовая механика» понимается нерелятивистская квантовая механика.
§ VI.1.1. ДВОЙСТВЕННОСТЬ СВОЙСТВ ЧАСТИЦ ВЕЩЕСТВА 533
4°. Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса р частицы,
. _ h _ Ь_ р mv ’
где т — масса частицы, v — ее скорость, h — постоянная Планка (IX). Волны, о которых идет речь, называются волнами де Бройля.
Другой вид формулы де Бройля:
р = !;к=М[’
,271 „ 2л
где к = -^-П — ВОЛНОВОЙ вектор, модуль которого R = -J- —
волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на 271 единицах длины, п — единичный вектор в направлении
/j од
распространения волны, Й = ^ = 1,05 • 10 Дж-с.
5°. Длина волны де Бройля для частицы с массой т, имеющей кинетическую энергию Wk (1.3.2.1°),
я= h
fimWl'
В частности, для электрона, ускоряющегося в электрическом поле с разностью потенциалов Дф вольт (Ш.3.2.7°),
і 12> 25 д
А = —J=T- А .
7Дф
6°. Формула де Бройля экспериментально подтверждается опытами по рассеянию электронов и других частиц на кристаллах и по прохождению частиц сквозь вещество. Признаком волнового процесса во всех таких опытах служит дифракционная картина распределения электронов (или других частиц) в приемниках частиц.
Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным.
534
ГЛ. VI. 1. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
7°. Фазовая скорость волн де Бройля (IV.3.2.100) свободной частицы
V1
фаз
CO
k
W
P
V
2
h
2 тк ’
где W — р2/(2т) — энергия свободной частицы, р = mv — импульс частицы, т — ее масса, v — ее скорость, к — длина деб-ройлевской волны. Зависимость фазовой скорости дебройлев-ских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию (IV.3.3.80). Групповая скорость волн де Бройля (IV.3.4.30) равна скорости частицы v:
сісо
и = ~Тй = v‘ dk
В таблице VI. 1.1 сопоставлены корпускулярные и волновые свойства частиц с массой m, движущихся со скоростью v.
Таблица VI.1.1
Корпускулярные свойства Волновые свойства
Скорость и Импульс р = mv Энергия свободной частицы P2 W= — 2т h h Длина волны де Бройля K = — = р mv W Частота волны де Бройля v = Групповая скорость волн де Бройля и = v Фазовая скорость волн де Бройля _ V уфаз — ?
8°. Помимо формулы де Бройля в квантовой механике принимается, что между энергией частицы W и частотой V волны де Бройля существует связь
W = h\ = йсо,
где со = 27CV — циклическая частота (IV. 1.1.2°) h = — (п. 4°).
§ VI.1.2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
535
9°. Волны де Бройля имеют специфическую природу: квадрат модуля амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке (вероятностный, статистический смысл волн де Бройля). Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, указанных в п. 6°, представляют результат статистической закономерности, согласно которой частицы чаще попадают в те места в приемниках, где интенсивность волны де Бройля (IV.3.3.60) оказывается большей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.
§ VI. 1.2. Уравнение Шредингера
1°. Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции (пси-функции) Y(x, у, z, t). Вероятность dw того, что частица находится в момент времени t в малом объеме dV вблизи точки M (х, у, г), равна:
dw = 14>\2dV,
где IxFl2 — квадрат модуля 'Р-функции: IxFp = xF1F*. Здесь xF* — функция, комплексно сопряженная с xF. Величина IxFl2 есть плотность вероятности пребывания частицы в данной точке
