Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
§ V.5.2. Законы Стефана—Больцмана и Вина
1°. Закон Стефана—Больцмана утверждает, что энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры:
где о = 5,67-10-8 Вт*м-2К-4 — постоянная Стефана—Больцмана. Этот закон можно вывести теоретически, рассматривая методами термодинамики равновесное излучение в замкнутой полости.
2°. Зависимость испускательной способности абсолютно
черного тела г* от частоты V при нескольких постоянных значениях температуры показана на рис. V.5.3. В области малы* частот г* - V2T, а в области больших частот (правые ветви кривых вдали от максимумов) г* - v3exp[-a1v/T'], где Gt1 — постоянный коэффициент.
Энергия излучения абсолютно черного тела распределен! неравномерно по его спектру. Абсолютно черное тело почти И излучает в области очень малых и очень больших частот. П<
мере повышения температуры тела максимум г* смещается I сторону больших частот в соответствии с законом Vm = Ъ-^Т, гд! Vm — частота, соответствующая максимуму г* при температу ре Т, а bi — постоянный коэффициент.
a < 1
о
R* = оТ4
о
§ V.5.2. ЗАКОНЫ СТЕФАНА—БОЛЬЦМАНА И ВИНА
515
Зависимость испускательной способности абсолютно черно-
Q
го тела г{ = —г* (V.5.1.40) от длины волны X показана на
рис. V.5.4. При повышении температуры тела максимум
смещается в сторону меньших длин волн в соответствии с законом смещения Вина
X
aW у ’
где Ъ = 2,9 • IO-3 м-К — постоянная Вина.
3°. Все попытки теоретического обоснования в рамках классической физики экспериментально найденного вида функции Кирхгофа г* = f(v, Т), изображенного на рис. V.5.3,
оказались безуспешными. Так, методами термодинамики удалось получить формулу Вина
= v3<pQ9 »
где Ф^^} — неизвестная функция отношения V/77.
На основе законов электродинамики и закона классической статистической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы равновесной системы (11.3.6.4°) была получена формула Рэлея—Джинса
* 27CV2
rv ~ с2 ,
где fe — постоянная Больцмана (11.1.4.5°).
Рис. V.5.3
Рис. V.5.4
516
ГЛ. V.5. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Формула Рэлея—Джинса согласовалась с экспериментальными данными только в области малых частот. Кроме того, из нее следовал абсурдный вывод о том, что при любой температуре энергетическая светимость абсолютно черного тела R* и
объемная плотность энергии w равновесного излучения бесконечно велики. Этот результат, к которому пришла классическая физика в задаче о спектральном распределении равновесного излучения, получил образное название «ультрафиолетовой катастрофы».
§ V.5.3. Формула Планка
1°. Объемная плотность энергии равновесного (черного) излучения в замкнутой полостр, а также распределение энергии этого излучения по частотам не зависят от материала стенок полости и полностью определяются температурой. Поэтому в качестве теоретической модели абсолютно черного тела можно взять бесконечную систему гармонических осцилляторов со всевозможными собственными частотами. Каждый из таких осцилляторов соответствует монохроматической компоненте черного излучения. Пусть (ev) — среднее значение энергии осциллятора с собственной частотой V, тогда, как показывают расчеты, испускательная способность абсолютно черного тела
* 2 Ttv2
rv — с2 (Ev)-
Если в качестве (Ev) взять значение kT, вытекающее из классического закона о распределении энергии по степеням свободы (II.3.6.4°)1, то написанное выше выражение для г* совпадет с формулой Рэлея—Джинса (V.5.2.30).
1 На одну колебательную степень свободы осциллятора в средне» приходится вдвое больше энергии, чем на одну степень свободы поступа тельного или вращательного движения, так как осциллятор обладает н< только кинетической, но также и потенциальной энергией, которая ; среднем равна кинетической энергии.
§ V.5.3. ФОРМУЛА ПЛАНКА
517
2°. Правильное выражение для средней энергии осциллятора (Ev) и функции Кирхгофа удалось найти Планку путем введения квантовой гипотезы, совершенно чуждой классической физике. В классической физике предполагается, что энергия любой системы изменяется непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно квантовой гипотезе Планка, энергия осциллятора Ev может принимать лишь определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных порций энергии — квантов энергии EvQ:
Если считать, что распределение осцилляторов по возможным дискретным энергетическим состояниям описывается законом Больцмана (11.3.4.2°), то вероятность рп нахождения осциллятора в состоянии с энергией Ti-EvQ при температуре T равна
рп = Сехр[-пЕу0/йГ].
Здесь k — постоянная Больцмана (11.1.4.5°), а С — постоянный коэффициент, определяемый из условия нормировки
Ev = UEvQt где п = 0, 1, 2, ...
E Pn = 1> т- е- С =
1
OO
? exp[-nev0/kT]
п = О
Среднее значение энергии осциллятора
Yj uexp[-nev0/kT]
<Еу> Л Pnn^vО ^vO
п = О
п - О
? exp[-nEv0/feT]
п = О
откуда
(fcy) ^vO
я = 0
