Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
s = A0 sin (со? - kx) + Aq sin [(со + dm)t - (k + dk) х] =
Зависимость s от х в некоторый фиксированный момент времени показана на рис. IV.3.3. Эта волна отличается от синусоидальной тем, что ее амплитуда
медленно меняющаяся функция координаты х и времени t.
(td(a-xdk\ . . , „
2Aq cos і-----2-----I sin (ш? - kx).
s
Рис. IV.3.2
Рис. IV.3.3
412
ГЛ. IV.3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
За скорость распространения этой несинусоидальной волны принимают скорость и перемещения точки M, в которой амплитуда А имеет какое-либо фиксированное значение (например, A=O или А = 2А0). Следовательно, точка M движется по закону t d(o - х dk = const, откуда
dx _ dxо U dt dt ’
Скорость и называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии квазисинусоидальной волной. Групповая скорость и = da>/dk пригодна для описания переноса энергии (передачи сигнала) посредством несинусоидальных волн, имеющих иной спектр частот, при условии, что спектр не очень широк, а дисперсия волн в среде для этих частот не слишком велика.
Связь между групповой (и = d(?>/dk) и фазовой (и = to/fc) скоростями волн имеет вид
. dv U-V-Xli,
где X — длина волны (IV.3.2.60). В недиспергирующей среде dv
^ = 0и групповая скорость совпадает с фазовой.
§ ІУ.3.5. Интерференция волн. Стоячие волны
1°. Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. Когерентным волнам соответствуют когерентные колебания (IV.1.4.30). Источники когерентных волн называются когерентными источниками. Синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда. Волны, частоты которых различны, когерентны только в течение времени когерентности возбуждаемых ими колебаний (IV. 1.4.4°). При наложении некогерентных синусоидальных волн, возбуждаемых точечными источниками S\ и S2 (рис. IV.3.4), квадрат амплитуды А результирующих негармонических
Рис. IV.3.4
§ IV.3.5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
413
колебаний в произвольной точке M периодически изменяется с течением времени t по закону (см. (IV.1.4.20) и (IV.3.2.80))
2 2 2
А = A1 + A2 + 2A1A2cos[(co2-G)1)t-(k2r2 -кггг) + (CC2-Ct1)].
Здесь и A2, (O1 и (02, k\ и fc2, (X1 и a2 — амплитуды в точке М, циклические частоты, волновые числа и начальные фазы обеих накладывающихся сферических волн. Период изменения
A2 равен T = 2л/|(о2 - (O1I.
Среднее за период значение квадрата амплитуды
(A2) = A21+Al.
При наложении некогерентных волн происходит сложение квадратов их амплитуд.
2°. Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Интерферировать могут только когерентные волны, которым соответствуют колебания, совершающиеся вдоль одного и того же или близких направлений.
При наложении когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S1 и S2 (рис. IV.3.4),
51 = A1 sin (юі - At1 + OC1) = A1 sin O1
и
52 = A2 sin (art - kr2 + (X2) = A2 sin Ф2,
амплитуда А и фаза Ф результирующих гармонических колебаний в точке M (s = S1 + S2 = A sin Ф) определяются соотношениями (IV. 1.4.3°)
A2 = Aj + Ag + 2A1A2cos[fe(r2- r1)-(a2 - (X1)],
A1SinO1 + A2Sin Ф2 ^ ^ A1CosO1+A2Cos Ф2 ’
Поскольку для колебаний когерентных источников S2 и S1 разность начальных фаз a2 - (X1 = const, результат интерференции двух волн в различных точках M зависит от величины Д — r2 - T1, называемой разностью хода волн. В интерферен-
414
ГЛ. IV.3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
ционных максимумах амплитуда результирующих колебаний A = A1 + A2, а в минимумах А = IA1 - А2|. Максимумы наблюдаются в точках M, удовлетворяющих условию:
M - (а2 “ ai)= ±2/7171,
где тп = 0, 1, 2, ... — порядок интерференционного максимума. Условие интерференционных минимумов имеет вид
&Д - (Ci2 - Ci1) = ±(2т - 1)71,
где т = 1, 2, 3,... — порядок интерференционного минимума.
Так как волновое число k = 271/А,, где А — длина волны в данной среде, то условия интерференционных максимумов и минимумов можно представить в форме
Oi2-ai
Д = ±тк H---—А — максимумы,
X CX2-Ci1 Д = ±(2т - l)g Ч---—А. — минимумы.
Наконец, если a2 = Ci1, то условия имеют вид Д = ±тА (максимумы) и Д = ±(2т - 1)А/2 (минимумы).
На прямой аЬ, проходящей параллельно линии источников S1S2 на расстоянии L от нее (рис. IV.3.4), центральный максимум нулевого порядка находится в точке О, равноудаленной от S1 и S2. Если расстояние между источниками J «L, то для точки M на прямой аЬ, отстоящей от О на расстоянии г L, разность хода волн
а 1г Д=1‘
Максимумам т-го и (т + 1)-го порядков соответствуют значения
mkL (т + 1)А L
zm ~ I и 2т +1 J »
так что расстояние между соседними максимумами равно XL/1.
3°. При интерференции волн отсутствует простое суммирование их энергий. В интерференционных максимумах интенсивность результирующей волны больше суммы интенсивно-
§ IV.3.5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
