Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
dW = wv dt dS cos ос = w(x dS) dt
и
d0w = w(\ dS) = (U dS),
где w — объемная плотность энергии волны, dS = n dS — вектор площадки dS, п — единичный вектор нормали к площадке, а — угол между v и dS.
Вектор U = wv, направленный в сторону переноса энергии волной, называется вектором Умова (вектором плотности потока энергии волны). По модулю он равен отношению потока энергии dOw сквозь ма-
dS
§ IV.3.3. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ ВОЛН 409
лую площадку dS к площади dS± = dS cos а проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению переноса энергии: U = dOw/dS±.
6°. Интенсивностью волны I называется ,модуль среднего значения вектора Умова. Интенсивность волны численно равна энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, нормальной к направлению распространения волны. Интенсивность бегущей синусоидальной волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Для плоской и сферической синусоидальных волн
I = |(и)| = v(w) = ^ Puto2A2.
Если сферическая волна распространяется в непоглощающей среде, то за единицу времени через любую сферическую поверхность радиуса г, центр которой находится в центре волны, передается одно и то же количество энергии, равное энергии, расходуемой за такое же время источником волны: 14т2 = const. Таким образом, интенсивность и амплитуда сферической волны убывают по мере удаления от центра волны по законам:
In Uq
I(r) = и А(г) = — ,
где i0 и а о — физические величины, численно равные интенсивности и амплитуде волны на расстоянии г = 1 м от центра волны.
Таким же способом можно доказать, что в случае плоской синусоидальной волны в непоглощающей среде амплитуда волны А не зависит от координат.
7°. Преобразование энергии волн в другие виды энергии, происходящее при распространении волн в среде, называется поглощением волн. В однородной среде поглощение упругих волн обусловлено главным образом процессами внутреннего трения (11.3.8.4°) и теплопроводности (11.3.8.5°). Амплитуда А и интенсивность / плоской волны, распространяющейся в поглощающей среде вдоль положительного направления оси ОХ, изменяются по экспоненциальному закону:
А(х) = А0е~ах и 1(х) = 10е~2ах.
41U
ГЛ. IV.3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
Здесь Aq и Iq — амплитуда и интенсивность волны в точках X= О, а — линейный коэффициент поглощения упругих волн, зависящий от свойств среды и частоты волны.
8°. Дисперсией волн называется зависимость фазовой скорости синусоидальных волн в среде от их частоты. Среда, в которой это явление наблюдается, называется диспергирующей средой. Дисперсия звуковых волн в безграничной среде зависит от свойств среды и всегда сопровождается поглощением звука.
§ IY.3.4. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость
1°. Принцип суперпозиции (наложения) волн’, в линейной среде (IV,3.1.7°) волны распространяются независимо друг от друга, так что результирующее возмущение в какой-либо точке среды при одновременном распространении в ней нескольких волн равно сумме возмущений, соответствующих каждой из этих волн порознь.
Например, если в линейной среде одновременно распространяется п различных механических волн, то результирующие смещение s, скорость V и ускорение а частиц среды в произвольный момент времени t равны
П П Л
s = Xsi’v= ZviHa = Xа»-
i = l i=l I = I
Здесь Si, Vj и Bi — значения смещения, скорости и ускорения, которые имели бы рассматриваемые частицы в тот же момент времени t, если бы в среде распространялась одна только і-я волна.
2°. Основываясь на принципе суперпозиции волн и разложении Фурье (IV.1.4.60 и IV.1.4.70), можно заменить любую несинусоидальную волну эквивалентной ей системой синусоидальных волн, т. е. представить в виде группы волн, или волнового пакета, Совокупность значений частот этих синусоидальных волн называется спектром частот (или просто спектром) рассматриваемой несинусоидальной волны. В зависимости от характера колебаний, возбуждаемых волной, спектр частот последней может быть дискретным (IV. 1.4.6°) или непрерывным (IV.1.4.70).
Закономерность распространения в линейной среде произвольного возмущения (сигнала), представляющего собой неси-
§ IV.3.4. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ волн
411
нусоидальную волну, проста только при условии, что среда недиспергирующая (IV.3.3.8°). В этом случае сигнал перемещается в среде, не изменяя своей «формы», так как все синусоидальные волны, образующие эту группу, имеют одинаковые фазовые скорости, равные скорости сигнала.
В диспергирующей среде синусоидальные составляющие группы волн, соответствующей несинусоидальной волне, распространяются с разными скоростями. Поэтому группа волн по мере распространения «расплывается» так, что «форма» сигнала изменяется. Например, если в момент времени сигнал, распространяющийся в диспергирующей среде вдоль оси ОХ, имел «форму», показанную на рис. IV.3.2 штриховой линией, то в момент времени f2 > *1 ОН имеет уже иную «форму», изображенную сплошной линией.
3°. Простейшей группой волн является квазисинусоидаль-ная плоская волна, получающаяся в результате наложения двух распространяющихся вдоль оси OX плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими по значению частотами и волновыми числами:
