Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
4V&
Г .I . . ПРУГИЕВОЛНЫ
новых поверхностей. В однородной изотропной среде (IV.3.1.60) волновые поверхности ортогональны лучам (п. 1°).
4°. Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу. В плоской волне, распространяющейся вдоль оси ОХ, все величины s, характеризующие колебательное движение среды, зависят только от времени t и координаты х рассматриваемой точки M среды. Если нет поглощения волн в среде (IV.3.3.70), то колебания в точке M отличаются от колебаний в начале координат О только тем, что они сдвинуты по времени на x/v, где V — скорость волны. Поэтому в плоской волне, распространяющейся вдоль положительного направления оси
X
OX, s является функцией разности (t — —), так что уравнение такой плоской волны имеет вид
s = f(t
Соответственно уравнение плоской волны, распространяющейся в противоположном направлении:
S = W + ^).
5°. Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся в непоглощающей среде вдоль положительного направления оси ОХ,
X 0)
s=A sin [m(t - -) + ф0] = A sin (tot - — х + фо),
или
. . г2п 2п s =AsintYt - -Jj1X +ф0],
где А = const — амплитуда колебаний, называемая амплитудой волны, со = 2п/Т — циклическая (круговая) частота волны, T — период колебаний, а фд — начальная фаза колебаний (в момент времени t = 0) в точках координатной плоскости х = 0.
Величина Ф = cot - ^ х + ф0, равная фазе колебаний в произвольной точке с координатой х, называется фазой плоской волны (см. также п. 6°).
§ IV.3.2. УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ
4U3
6°. Расстояние X = vT, на которое распространяется синусоидальная волна за время, равное периоду колебаний, называется длиной волны. Длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками среды, в которых разность фаз колебаний равна 2п.
Наряду с длиной волны используется другая характеристика синусоидальной волны — волновое число1
, = 2я = 2я = ш X vT V
Поэтому уравнение плоской синусоидальной волны (п. 5°) можно также представить в виде
2л
s=A sin (mt - -j- х + фо) = A sin (ш? - kx + фо).
Соответственно фаза этой плоской волны Ф = ю? - kx + фд.
7°. Волновым вектором называется вектор к, по модулю равный волновому числу k и направленный вдоль луча (п. 1°) в рассматриваемой точке M среды. Волновой вектор плоской синусоидальной волны не зависит от выбора точки М, и уравнение такой волны можно записать в форме
s=A sin [ю? - кг + а],
где г — радиус-вектор точки М, а а — начальная фаза колебаний в начале координат, т. е. в точке г = 0.
Основываясь на формуле Эйлера (IV. 1.1.7°), уравнение плоской синусоидальной волны можно записать в экспоненциальной форме, удобной для дифференцирования,
S = Ае1(ш-кт + 8),
где 8 = а - п/2. Физический смысл имеет только действительная часть комплексной величины s, т. е. величина s = Re s. Поэтому, пользуясь s для нахождения какой-либо характеристики волны, нужно после выполнения всех математических операций отбросить мнимую часть полученного комплексного выражения.
1 В физической оптике волновым числом часто называют величину 1/Х, где X — длина волны излучения в вакууме (ГОСТ 7601—78).
¦ачу*
ГЛ. IV.3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
8°. Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны. Такого рода волны возбуждаются в однородной изотропной среде уединенным точечным источником. Уравнение расходящейся сферической волны имеет вид
г V
где г — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки M среды, V — скорость волны.
В случае синусоидальной сферической волны
aO
s = — sin (tot -kr + а),.
где А(г) = а0/г — амплитуда волны (IV.3.3.60), а0 — физическая величина, численно равная амплитуде волны на единичном расстоянии от ее центра, а — начальная фаза колебаний в центре волны, а Ф = tot - kr + а — фаза сферической волны.
Экспоненциальная форма записи уравнения синусоидальной сферической волны:
g _ а° ei(tDf - kr + 8) _ ei(wt - kr + 6)
Г г '
где 8 = а - я/2, г — радиус-вектор, проведенный из центра волны в рассматриваемую точку М, а волновой вектор к направлен в точке M радиально от центра волны.
Реальные источники волн всегда имеют конечные размеры. Однако их можно считать точечными, а волны, возбуждаемые ими в однородной изотропной среде, — сферическими, если расстояние г от источника до рассматриваемых точек среды значительно больше размеров источника. Если г очень велико, то любые малые участки волновых поверхностей практически : можно считать плоскими.
9°. Распространение волн в линейной однородной изотропной непоглощающей среде описывается дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением'.
02s d2s d2s _ Id2S * _ I d2s
Э*2 Эу2 + Эг2
§ IV.3.3. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ волн
405
Здесь s — физическая величина, которая характеризует возмущение, распространяющееся в среде со скоростью и, а
Э2 Э2 Э2