Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний простейшей линейной системы (IV.2.1.10) — пружинного маятника (IV.2.1.20), — происходящих вдоль оси OX под влиянием переменной внешней силы F(f):
+20? + (02х = ~Fx(t). dt2 dt 0 т xW
Если Fx^t) — периодическая функция времени, то после приложения этой силы к маятнику вначале возникает переходный режим вынужденных колебаний. Маятник одновременно участвует в двух колебаниях:
X = X\(t) + X2 (t).
Первый член соответствует свободным затухающим колебаниям маятника (IV.2.1.3°),
jc1(f) = Aoe-^ sin (wf + \j/q),
ГДЄ (0 = J(X)I - P2.
Здесь предполагается, что P < G)q. В противном случае свободное движение маятника будет апериодическим (IV.2.1.6°).
Второй член соответствует незатухающим периодическим колебаниям маятника с частотой, равной частоте возмущающей силы jF*(t).
§ IV.2.2. ВЫНУЖДЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
389
Амплитудное значение Xi(f), равное Аде более или менее быстро уменьшается после начала вынужденных колебаний: за время T0 = 4,6/Р амплитуда Xi(f) уменьшается в 100 раз. Следовательно, через некоторое время после начала колебаний свободные колебания маятника практически прекращаются: x(t) ~ X2CO- Маятник переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, совершающихся с частотой возмущающей силы.
2°. Если возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, т. е. Fx = Fq cos Qt, то установившиеся -вынужденные колебания маятника также гармонические с той же частотой:
х=А cos (Qf + фо).
Амплитуда этих колебаний А и сдвиг фаз ф0 между смещением и возмущающей силой зависят от соотношения между циклическими частотами вынужденных колебаний Q и свободных незатухающих колебаний маятника со0:
Fo , 2 PQ
А = ---¦ — " =.: И tg фо -----5--¦
171 */(®о ~ Q2)2 + 4P2Q2 CO0-Q
F0 F0
При Q = O получим ф0(0) = 0 и A(O) =Aq= т^2 = — ста-
тическое смещение маятника из положения равновесия под действием постоянной силы Fx = Fq. При Q —» со амплитуда A(Q) —> 0 и tg фо —> 0, а фо —> -7t. Графики зависимости A(Q) и Фо^) при различных значениях коэффициента затухания P показаны на рис. IV.2.3. и рис. IV.2.4.
Рис. IV.2.3
Рис. IV. 2.4
390 ГЛ. IV.2. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
3°. Амплитуда смещения в случае установившихся вынужденных гармонических колебаний маятника достигает максимума при циклической частоте колебаний
где (0 — циклическая частота свободных затухающих колебаний маятника (IV.2.1.3°). Частота Qp называется резонансной. Максимальная амплитуда
где 6 — логарифмический декремент затухания (IV.2.1.4°). Если P « (00, то Qp ~ (00, (P0(Qp) ~ -я/2 и Ambkc ~ QA0, где Q ~ 7t/6 — добротность маятника (IV.2.1.5°), a Aq— статическое смещение (п. 2°).
Резкое возрастание амплитуды вынужденных механических колебаний при приближении циклической частоты возмущающей силы к значению Qp называется явлением механического резонанса. Соответственно графики зависимости А от Q, изображенные на рис-. IV.2.3, называются резонансными кривыми.
По мере увеличения коэффициента затухания P пики на резонансных кривых быстро сглаживаются (при малых P амплитуда Амакс - 1/Р), а резонансная частота Qp медленно уменьшается.
4°. Скорость маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях doc
Dx = — = -AQ, sin (Qt + ф0) = Av cos (Qf + а).
Здесь Av = АО. и а = ф0 + л/2 — амплитуда скорости и сдвиг фаз между скоростью и возмущающей силой, причем
Qp = Jcog -2P2 = Vw2-P2,
^макс А(Ц>) 2mP(0 т6(02’
F0 ItF0
F0 Q
§ IV.2.2. ВЫНУЖДЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
391
Амплитуда скорости максимальна при Q = (Dq и равна
В этом случае а = 0, т. е. скорость маятника колеблется в одной фазе с возмущающей силой. При Q —» °° амплитуда Av -» 0 и а -» -п/2.
5°. Ускорение маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях
фаз между ускорением и возмущающей силой, причем
При ?2 = 0 амплитуда Aa = 0, а при Q —» оо амплитуда ускорения стремится к значению А0(оо) = Fq/т.
6°. При установившихся вынужденных колебаниях потери энергии колебательной системы, обусловленные диссипативными силами (1.3.1.7°), полностью компенсируются за счет работы, совершаемой над системой возмущающей силой. Например, работа, совершаемая за одно полное колебание силой сопротивления, действующей на пружинный маятник,
где b = 2т(3 — коэффициент сопротивления (IV.2.1.20).
dt
А
Здесь Aa = AQr и у - Фо + я — амплитуда ускорения и сдвиг
F0Q
2
Амплитуда ускорения максимальна при
Q =
T
T
о
о
392 ГЛ. IV.2. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Работа, совершаемая за то же время возмущающей силой Fx = F0 cos Qt,
T T
cdx е
A2 = JP0J ^cos Qt dt = -AQi^0J cos Qt sin(Qf + q>Q)dt =
о о
= -^AQjF0T sin <р0 = -A1,
так как sin ф0 = -2tti$A?1/Fq.
7°. Если возмущающая сила, действующая на пружинный маятник, изменяется периодически, но не по гармоническому закону, то ее можно представить в виде суммы гармоник этой силы (IV. 1.4.6°). Они имеют различные амплитуды, начальные фазы и циклические частоты, кратные Q = 2п/Т, где T — период изменения возмущающей силы. Так как маятник является линейной колебательной системой (IV.2.1.10), то каждая гармоника возмущающей силы действует на него так, как если бы других гармоник не было. Поэтому установившиеся вынужденные колебания маятника, вызываемые произвольной периодической возмущающей силой, можно рассматривать как результат наложения установившихся вынужденных колебаний этого маятника под действием каждой из гармоник возмущающей силы порознь. «Вклад» различных гармоник силы в результирующие колебания зависит от их частот и амплитуд. Благодаря явлению резонанса существенную роль играют лишь те гармоники возмущающей силы, циклические частоты которых близки к резонансной частоте маятника (п. 3°). Если коэффициент затухания маятника P мал, то маятник может совершать установившиеся вынужденные колебания, близкие к гармоническим, даже в тех случаях, когда вынуждающая сила далека от гармонической. Примером таких вынужденных колебаний могут служить колебания маятника, который периодически подвергается кратковременным внешним воздействиям в виде толчков, направленных в одну и ту же сторону и повторяющихся через одинаковые промежутки времени, равные периоду свободных колебаний маятника.
