Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
20. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид
d2s , n(3ds „
— + 2Р^ + ф-°.
Здесь s — изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы, P = const >0 — коэффициент затухания, а а>о — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы, т. е. в отсутствие потерь энергии (при P = 0).
§ IV.2.1. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
385
Пример 1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника (IV. 1.2.3°). На маятник массы т, совершающий прямолинейные колебания вдоль оси OX под влиянием силы упругости пружины, действует также сила сопротивления Fconp = ~Ь\, где V — скорость маятника, a b — const >0 — коэффициент сопротивления. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний маятника
т
d2x
dx
dt* ’ -bTt -кх-или
d2x
dt2
.dx
+ 2(3^ + (й2х = 0,
где P = Ь/2т и сод = 4к/т.
Пример 2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Электрическое сопротивление реального контура jR ^ 0 и дифференциальное уравнение колебаний в контуре имеет вид (IV. 1.3.1°)
fi+2pf + COg5= 0,
где р = R/2L и о)0 = і/ Jlc .
3°. Если затухание не слишком велико (Р < (Oq), то зависимость s от t, удовлетворяющая уравнению затухающих колебаний (п. 2°), имеет вид
S = А0е-^ Sin (CO* + XJ/q).
Здесь со = Jd)2 - P2, а постоянные величины Aq и \уо зависят от
начальных условий, т. е. от значений s и ds/dt в начальный момент времени (t = 0). График зависимости s от t при \j/0 = 0 показан на рис. IV.2.1.
Рис. IV.2.1
386 ГЛ. IV.2. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Затухающие колебания не являются периодическими (ІУЛ.1.20). Например, максимальное значение колеблющейся величины s, достигаемое в некоторый момент времени tj, в последующем (при t > ti) никогда не повторяется. Однако при затухающих колебаниях величина s обращается в нуль, изменяясь в одну и ту же сторону (например, убывая), а также достигает максимальных и минимальных значений через равные промежутки времени
T = — = 271
“ >о2-Р2'
Поэтому величины T и Cd условно называют периодом (условным периодом) и циклической частотой (условной циклической частотой) затухающих колебаний.
Величина
А=А0е-р*
называется амплитудой затухающих колебаний, соответственно Ao — начальной амплитудой. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания (3.
Промежуток времени т = 1/(3, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.
4°. Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина б, равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t Ht + T (Т — условный период колебаний),
§ = in 4(?) = Ry = — = J.
0 A(f+!T) Р т iV’
где N — число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.
Связь между циклической частотой (о затухающих колебаний системы и логарифмическим декрементом затухания 6:
to = O0 Jl~((o/w0)2(8/(2n)2 .
5°. Добротностью колебательной системы называется безразмерная физическая величина Q, равная произведению
§ IV.2.1. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
387
2п на отношение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t + Tt т. е. за один условный период затухающих колебаний:
Q W(t)
v W(t)-W(t + T)'
Поскольку энергия W(?) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний A(t),
О = A2 (t)__________2л__________2п
V A2(t)-A2(t + T) 1-е-2Рг 1-е-28'
При малых значениях логарифмического декремента затухания 5 добротность колебательной системы Q = п/Ь. При этом условный период затухающих колебаний T практически равен периоду Tq свободных незатухающих колебаний, так что Q =
Tl gjO
= oTjr = • Например, добротность электрического колеба-
P-Z о *ф
тельного контура (IV.1.3.1°) Q = j^jL/C, а добротность пружинного маятника (IV.2.1.20) Q — ^ Jktti .
6°. При увеличении коэффициента затухания P условный период затухающих колебаний возрастает и обращается в бесконечность при P = CD0* Если P > а>0, то дифференциальное уравнение движения системы
имеет следующее общее решение:
-a, t , л _~ci2t
S — Cje 1 4- С2е
где CX1 = P + Jfi2 - aft и а2 = P “ Vp2-Wo2 *a C1 и C2 — постоянные
коэффициенты, зависящие от начальных условий. Если началь-
_ у л. ds
ньіе значения (в момент времени t = 0) равны s — S0 и ^ то
388 ГЛ. IV.2. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Такое движение системы не имеет колебательного характера и называется апериодическим. В зависимости от начальных условий возможны два типа апериодического движения системы (рис. IV.2.2). Движение типа а осуществляется в тех случаях, KO-Рис. IV.2.2 гда Sq и V0 противоположны ПО
знаку и |и0| > OC1Is0I. Во всех остальных случаях осуществляется движение типа б.
§ IV.2.2. Вынужденные механические колебания
1°. Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные механические колебания, называется вынуждающей, или возмущающей, силой.