Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
A0(l + b0 COS О)t) sin (C00f + Фо) = Aq sin ((00f + Фо) +
A0 Ь0
+ —2~ {sin [((O0 + ca)t + Ф0] + sin [((O0 - (o)t + ф0]}.
§ IV. 1.4. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
381
При частотной модуляции гармонических колебаний S = A0 sin (toQt + ф0), осуществляемой по гармоническому закону, модулированные колебания имеют вид
S = Aq Sin [0)0(1 + ь0 COS (Ot) t + Ф0], где &о < 1 и © ^ ®о-
Соответственно при фазовой модуляции изменяется начальная фаза колебаний:
S = Aq sin [CdQt + Дф COS Wf], где W W0-
В общем случае колебания могут быть модулированы одновременно и по амплитуде, и по фазе (или частоте). Примером таких модулированных колебаний могут служить биения (п. 5°).
9°. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты. Пусть точка M одновременно колеблется вдоль осей координат OX и OY по законам х =Ai sin (wf + фх) и у =A2 sin (wf + ф2), где х и у — декартовы координаты точки М. Уравнение траектории результирующего движения точки M в плоскости XOY можно найти, исключив из выражений для координат х и у параметр f:
A2
+
гг
Al
2ху о
------ COS (Ф2 - Фі) = sin (ф2 - Фх).
A1A2
Траектория имеет форму эллипса (рис. IV.1.10), причем точка M описывает этот эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний T = 2jt/w. Поэтому результирующее движение точки M называют эллиптически поляризованными колебаниями.
Ориентация в плоскости XOY осей эллипса, а также его размеры зависят от амплитуд Ai и A2 складываемых колебаний и разности их начальных фаз Ф2 - фх. Если ф2 - фі = (2/71 + + 1)тс/2, где т = 0, ±1, ±2, ..., то оси эллипса совпадают с осями координат OX и OY, а размеры его полуосей равны амплитудам A1 и A2:
X2 у2
Af + Al
= 1.
Рис. IV.1.10
382
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Если, кроме того, A1 =A2, то траектория точки M представляет собой окружность. Такое результирующее движение точки M называют циркулярно поляризованными колебаниями, или колебаниями, поляризованными по кругу.
В тех случаях, когда ц>2 - Фі = тпп (тп = 0, ±1, ±2, ...), эллипс вырождается в отрезок прямой:
Знак плюс соответствует четным значениям тп, т. е. сложению синфазных колебаний (рис. IV.1.11, а), а знак минус — нечетным значениям т, т. е. сложению колебаний, происходящих в противофазе (рис. IV.1.11, б). В этих случаях точка M совершает линейно поляризованные колебания. Она гармонически колеблется с частотой складываемых колебаний и амплитудой A= Ja^ +Af вдоль прямой линии, составляющей с
осью OX угол а — arctg ^^cosmTtj .
m= 0; ±2;±4 ш = ±1;+3...
Рис. IV.l.ll
10°. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с циклическими частотами рсо и QO), где р и д — целые числа:
х =Ai sin (pot + фі) и у = A2 sin (q&t + Фг)*
§ IV.1.4. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
383
Значения координат х и у колеблющейся точки M одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени Tq, равные общему наименьшему кратному T1 = 2п/рса и T2 = 2n/qd) — периодов колебаний вдоль осей OX и OY. Поэтому траектория точки M — замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории точки М, одновременно совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат OX и OY и расположены по обе стороны от них на расстояниях, соответственно равных A2 и A1. Отношение частот р(й и q(О складываемых колебаний равно отношению числа касаний соответствующей им фигуры Лиссажу со стороной прямоугольника, параллельной оси OY, и со стороной, параллельной оси ОХ. На рис. IV. 1.12 показан вид фигур Лиссажу при трех различных значениях отношения q/p (2 :1, 3 : 2 и 4 : 3) и разности начальных фаз Дф = (P1 - ф2 = п/2.
Tl
Ф1 - ф2 = -
Y
п
Фі " Ф2 = у YL
Ф1 - Ф2 = j Yk
п
X
«Л
P і
Q = 3 P 2
Рис. IV. 1.12
384 ГЛ. IV.2. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Глава IV.2 ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ IV.2.1. Затухающие колебания
1°. Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных механических колебаний вызывается главным образом трением и возбуждением в окружающей среде упругих волн (IV.3.1.30). Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми потерями в проводниках, образующих систему или находящихся в ее переменном электрическом поле, потерями энергии на излучение электромагнитных волн (IV.4.1.10), а также тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса (111.4.5.3°; 111.12.5.2°).
Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями. Например, пружинный маятник (IV. 1.2.3°), движущийся в вязкой среде, представляет собой линейную систему, если коэффициент сопротивления среды и упругость пружины не зависят от скорости и смещения маятника. Электрический колебательный контур (IV.1.3.10) можно считать линейной системой, если его электрическое сопротивление R, электроемкость С и индуктивность L не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. В большинстве случаев реальные колебательные системы достаточно близки по своим свойствам к линейным.
