Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
А + + JL = о
dt2 Ldt LC и-
2°. Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармоническими, если его электрическое сопротивление R = O:
d2 q I _ п
dt2 LC<1
Циклическая частота CD и период T этих колебаний удовлетворяют формуле Томсона
ш =-р= и T = ZnjLC.
Jlc
374
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Заряд q конденсатора и сила тока I в контуре изменяются по законам
q — Qf0 sin (шt + Фо) и / = Iq COS (CD* + Фо) = Iq sin (CDt + Фо + 71/2),
где д0 — амплитуда заряда конденсатора, J0 = COQo = q0/ JLC — амплитуда силы тока, Фо — начальная фаза колебаний заряда конденсатора. Ток в контуре опережает по фазе заряд конденсатора на л/2.
Разность потенциалов обкладок конденсатора и = ф2 - Фі также изменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с зарядом q:
и = с = U0 sin (cot + фо),
где Uq = qo/C — амплитуда разности потенциалов. Амплитуда тока
Iq=U0JcTL.
Величина JlTc называется волновым сопротивлением колебательного контура.
3°. При свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре происходит периодическое преобразование энергии We электрического поля конденсатора в энергию Wm магнитного поля катушки индуктивности, и наоборот:
, 2 2
О 9о 2 Яо
We = 2C = 2Csin (“* + (Ро) = 4^[1-сов(2ті + 2ф0)],
2 LJ2 LI2
Wm = = “2^COS2(CDi + ф0) = ~^[1 + COS(2CDi + 2ф0)] .
Поэтому колебания, происходящие в электрическом колебательном контуре, часто называют электромагнитными колебаниями в контуре.
Значения We и Wm изменяются при гармонических электромагнитных колебаниях в пределах от О до максимальных
2 2
значений, соответственно равных q0/2C и LI0/2 , причем
2 2
q0/2C = LI0/2. Колебания We и Wm сдвинуты по фазе: в те
§ IV.1.4. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
375
2
моменты времени, когда We = О, Wm = Wm макс = LI0/2 и, на-
2
оборот, когда Wm = 0, We = We макс = q0/2C . Полная энергия
электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени:
2 LI2
= “const.
§ IV.1.4. Сложение гармонических колебаний
1°. Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая — сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Первый случай соответствует, например, колебаниям грузика 1 (рис. IV.1.7), который колеблется относительно грузика 2 на пружине а и вместе с ним на пружине Ъ. Этот же случай реализуется при наложении колебаний скалярных физических характеристик колебательной системы (давления, температуры, плотности, электрического заряда, тока и т. п.).
2°. Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний Sj = A1 sin (шit + (P1) и S2 = A2 sin (сo2t + (р2) можно произвести, воспользовавшись методом векторных диаграмм (IV.1.1.60). На рис. IV.1.8 показаны векторы A1(t) и
Рис. IV.1.7
376
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
A2(J) амплитуд соответственно первого и второго колебаний в произвольный момент времени і, когда фазы этих колебаний равны: Фі(?) = Cflit + фі и Ф2(і) = ш2? + ф2. Результирующим колебаниям s = Si + S2 соответствует вектор A(i) = A1(J) + A2(J), проекция которого на вертикальную ось OY равна s:
s = A(t) sin Ф(і).
По теореме косинусов
[A(t)f = Al+A22+ ZA1A2 cos [Ф^-Ф^*)],
A1 sin Фі(і) +A2 sin Ф2(t) tg Ф(і) cog +A2 cos Ф2(t) *
3°. Два гармонических колебания S1 и S2 называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени:
Jl [Фг(0 “ фі(*)] = О и Ф2(*) - Фх(і) = const.
Поскольку Ф2(0 - Фі(?) = (ш2 - CO1)* + (ф2 - Фі), циклические частоты когерентных колебаний должны быть одинаковы, т. е. CO2 = GJ1 = to. В любой момент времени разность фаз когерентных колебаний равна разности их начальных фаз: Ф2(?) - Фі(?) = ф2 —
- ф!> Соответственно результирующие колебания — гармонические с той же циклической частотой ш, т. е.
s = S1 + S2 = A sin (at + фо),
где
и
A2 = Af +Af + 2АхА2 cos (ф2 - фі)
A1SU^1 +А28іпф2 tg Фо А1совф1+А2со8ф2 ’
В зависимости от значения разности начальных фаз складываемых колебаний амплитуда А результирующих колебаний изменяется в пределах
от А = [A1 -A2I при ф2 - фі = ±(2 т + 1)л
до A =A1 +A2 при ф2 - Фх = ±2тп,
§ IV.1.4. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
377
где т = 0, 1, 2, ... — любое целое неотрицательное число. Если Ф2 _ Фі = ±2тл, то говорят, что складываемые колебания син-фазны (находятся в одной фазе), а при Фг ~ Фі = =Ц2т + 1)тс говорят, что складываемые колебания находятся в противофазе.
4°. Гармонические колебания, частоты которых различны (Cfl2 * tfli), некогерентны, так как разность их фаз, равная ((? -
- Cfl1Jf + (ф2 - Фі), непрерывно изменяется с течением времени. При наложении таких колебаний получаются негармонические результирующие колебания. Векторы амплитуд A1 и A2 складываемых колебаний (рис. IV. 1.8) вращаются с разными угловыми скоростями, так что построенный на них параллелограмм непрерывно деформируется, а его диагональ — вектор А результирующих колебаний — изменяется по длине и вращается с переменной угловой скоростью.
