Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
,2
Td а J-
J —г = -mgd sin а, dt
где а — угол поворота маятника вокруг оси качания из положения равновесия, d = ОС — расстояние от центра масс маятника до оси качания, J — момент инерции маятника относительно той же оси (1.4.2.1°), т — масса маятника, g — ускорение свободного падения. При малых колебаниях маятника sin а ~ а и уравнение движения маятника имеет вид
d2a , mgd
—о + —=0, dt2 J
\
т. е. угол а удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний (IV.1.1.5°). Таким образом, в отсутствие трения малые колебания физического маятника являются гармоническими
а = ао sin (cot + Фо), где ад — амплитуда колебаний угла a, a
ш
= JmgdJj и T = 2яJj/(mgd) —
циклическая частота и период малых колебаний физического маятника.
5°. Пример 3. Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием си-
§ IV.1.2. МЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 371
лы тяжести. Математический маятник представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, так что d = l — длина математического маятника. Момент инерции такого маятника
л
относительно оси качания J = ml . Соответственно циклическая частота и период малых колебаний математического маятника равны
ш
= JgTl и T = 2nJUg.
Малые колебания физического и математического маятников служат примерами изохронных колебаний, т. е. колебаний, частоты и периоды которых не зависят от амплитуд.
В общем случае период колебаний физического маятника зависит от его амплитуды OCq:
T = 2nJj/(mgd)^l +Qj Sin2-J +0 ¦ f) sin4_jf + •••]•
Изменение значения T при увеличении CCq до 15° не превосходит 0,5%.
6°. Приведенной длиной физического маятника Inp называется длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний
inP = md=d + l^d>d’
где Jq — момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через центр масс С маятника и параллельной его оси качания. Точка Oj, лежащая на прямой ОС на расстоянии Inp от точки подвеса маятника О (рис. IV.1.4), называется центром качания физического маятника. Центр качания Oi и точка подвеса О обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качаний проводила через точку Oj, то точка О будет совпадать с новым положением центра качания маятника, т. е. приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними.
7°. Пример 4. Малые свободные колебания электронов в плазме (111.9.6.1°). Эти колебания, называемые ленгмюровеки-ми колебаниями плазмы, вызываются силами электрического
372
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
поля, которое возникает в электроней-тральной плазме при каком-либо случайном отклонении пространственного распределения электронов от равновесного. Например, если в плоском слое плазмы толщиной І (рис. IV. 1.5) электроны смещаются на малое расстояние s вдоль положительного направления оси ОХ, то в левой части слоя возникает избыточный положительный заряд, а в правой — отрицательный. Соответственно возникает электрическое поле, напряженность E которого
п 0е
направлена вдоль оси ОХ, а проекция на эту ось Ex --------s, где
Ео
Uq — концентрация электронов в плазме, е — абсолютная величина заряда электрона, е0 — электрическая постоянная. По второму закону Ньютона уравнение движения электронов в этом электрическом поле имеет вид
J2
a s
т-
dV
2
Є Tlc
^2
a s ,
ИЛИ ------г +
2
€ Tl п
=4 + 37^ = 0,
dr
те
гц,е m — масса электрона. Таким образом, электроны плазмы совершают свободные гармонические колебания с циклической частотой
CD = Є Jn0/(Tne0) , называемой плазменной, или ленгмюровской, частотой.
§ IV.1.3. Свободные гармонические колебания в электрическом колебательном контуре
1°. Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электрические колебания, служит простейший колебательный контур (рис. IV. 1.6), состоящий из конденсатора электроемкостью С и соединенной с ним последовательно катушки индуктивностью L. При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и
§ IV.1.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
373
тока в катушке. Переменное электро- / > О
магнитное поле распространяется в пространстве со скоростью, равной скорости света. Поэтому, если линейные разме- с^~"~
с ^ ры контура I не слишком велики (I <ЗС -,
Рис. IV. 1.6
Q
где с = З'Ю м/с — скорость света в вакууме, V — частота колебаний в контуре), то можно считать, что в каждый момент времени t сила тока I во всех частях контура одинакова. Такой переменный ток называется квазистационар-ным. По закону Ома (111.8.2.3°) для участка цепи 1-L-2 (рис. IV. 1.6)
, „ а г dl
IR = фх - ф2 + $с или IR = -Q-.
Здесь q и ф! - Ф2 = -(q/С) — заряд конденсатора и разность потенциалов его обкладок в рассматриваемый произвольный момент времени f, R — электрическое сопротивление колебательного контура, т. е. участка цепи l-L-2, $с = ~L{dI/dt) — ЭДС самоиндукции в катушке (Ш.13.2.4°). Из закона сохранения электрического заряда (111.1.1.3°) следует, что сила квазиста-ционарного тока в контуре I = dq/dt. Поэтому дифференциальное уравнение колебаний заряда q имеет вид
