Справочное руководство по физике для поступающих в вузы и для самообразования - Яворский Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Скорость гармонически колеблющейся точки
v = biA cos (cot -f Cp0), V = Щг A cos •^r t, V = 2'д'J* 0,10- cos 36° м/с да 0,25 м/с.
Ускорение в момент /
с = —CuM sin (со/ + ср0) = — а2х, или а = ~~х, I а I = . 0,059 м/сг да 0,57 м/с2.
Задача 2. Середина колеблющейся струны имеет максимальное ускорение 2,02•1O3 м/с2. Определить частоту колебаний, если амплитуда колебаний 2,00 мм.
Дано: а=2,02-103 м/с2, Л=2,00 мм=2,00-10-8 м.
Найти: v.
Решение: Максимальное ускорение соответствует максимальному смещению точки от положения равновесия: loHaKcl==c°M=4n2vM, откуда
1.3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА 291
1.3. Гармонические колебания пружинного маятника
1°. В состоянии равновесия пружинного маятника (IV. 1.1. Г) сила тяжести G, действующая на него, уравновешивается силой упругости F (11.7.2.2°) растянутой пружины (рис. IV. 1.1, а). Если вывести тело из положения равновесия, сместив его вниз вдоль оси Ox на расстояние х, то маятник начнет совершать сво- w/mm */////////,.
бодные колебания (IV.l. 1.5°) под действием силы упругости пружины F, которая направлена в сторону, противоположную смещению маятника (рис. IV. 1.5, а, б). По закону Гука (1.2.9.4°) сила F прямо пропорциональна абсолютному значению смещения х маятника и всегда направлена к положению равновесия. Такие силы в колебательных движениях называются возвращающими силами.
2°. Если начало координат совпадает с положением равновесия пружинного маятника, а ось Ox направлена вниз (рис. IV.l.5), то по закону Гука
F = —kx,
где F — действующая сила, х — абсолютное значение смещения маятника, k — коэффициент квазиупругой силы (1.2.9.4°).
3°. По второму закону Ньютона (1.2.4.Г) F =
О
О
Рис. IV. 1.5
¦ та,
где т — масса тела пружинного маятника, а -рение, или
-calx, где со2,
его уско-
а-
т т т
Согласно IV. 1.2.2° пружинный маятник совершает свободные гармонические колебания с циклической частотой (O0 (собственная циклическая частота свободных колебаний):
Y
Период колебаний
гг, 2я -,/"юГ
292 ОТДЕЛ IV. ГЛ. 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Задача. Спиральная пружина под действием подвешенного к ней груза растянулась на 6,5 см. Если груз оттянуть вниз, а затем отпустить, то он начнет колебаться вдоль вертикальной линии. Определить период колебания груза.
Дано: х=6,5 см=6,5-10-2 м.
Найти: Т.
Решение: Считаем, что груз совершает гармонические колебания с периодом Т: T = 2я j/^-^r, где m — масса
груза, k—коэффициент квазиупругой силы. Модуль силы тяжести в положении равновесия груза будет равен модулю упругой силы: mg=kx, откуда
* = -2&, Т = 2п уГ-, 7 = 2-3,14 ]/^~с = 0,51 с.
1.4. Гармонические колебания математического маятника
1°. Математическим маятником называется материальная точка М, подвешенная на невесомой нерастяжимой
нити и совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести G. В положении равновесия две силы, действующие на материальную точку: сила тяжести G=mg (1.2.8.3°) и сила натяжения нити F11, уравновешивают друг друга (рис. IV. 1.6). Если отклонить маятник из положения равновесия на малый угол а, то сила
Рис. IV. 1.6 Рис. IV. 1.7 тяжести G и сила натяжения
FH будут направлены под углом друг к другу, и они не уравновешиваются.
2°. Возвращающей силой (IV. 1.3. Г) для математического маятника является составляющая F его силы тяжести mg, равная (рис. IV.l.7)
F = mg sin а.
При малых углах отклонения sin а «а =-у. Учитывая, что направление смещения и возвращающей силы
1.5. ЭНЕРГИЯ гармонического колебательного движения 293
противоположны, получим
F = ~mg-j,
где X — абсолютное значение смещения маятника из положения равновесия.
3°. Из последней формулы п. 2° видно, что ускорение
маятника
a= —^x = — и>1х,
где a\=gll.
Сопоставление с IV.l.2.2° показывает, что малые колебания математического маятника являются свободными гармоническими колебаниями с собственной циклической
частотой Ui13=VgIl-
Период малых колебаний математического маятника T = 2л/со0 = 2л V Ug не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний. Наблюдения над колебаниями маятников используются для определения ускорения g силы тяжести (1.2.8.4°).
Задача. Математический маятник с периодом колебания 2,000 с имеет длину 0,9973 м на широте г. Архангельска и 0,9952 м на широте г. Лондона. Определить ускорение силы тяжести, соответствующие этим широтам.
Дано: Г=2,000 с, /х=0,9973 м, /2=0,9952 м.
Найти: gu g2.
Решение: Математический маятник имеет период колебания T = 2л V Ilg\ отсюда
gl = 4-3'142;-°'9973m/c^9,882M/c-, ga = 4.3,1422.0,9952M/c2 = 9[812M/ca
1.5. Энергия гармонического колебательного движения
1°. При гармонических колебаниях пружинного маятника (рис. IV. 1.1) происходят превращения потенциальной
энергии упруго деформированного тела П = -^- (1.5.3.6°) в его кинетическую энергию =-?- (1.5.3.3°), где k —
294 отдел iv. гл. 1. механические колебания
коэффициент квазиупругой силы (1.2.9.4°), х — абсолютное значение смещения маятника из положения равновесия, т — масса маятника, v — его скорость. В соответствии С IV.1.1.4° и IV.1.2.10
