Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Укажем коэффициенты Z(0\ Z(;1) уравнений основных физических полей.
24 Г I
I
I
(12.20)
(12.21)
Метрика многообразия n+1 измерений, подчиняющаяся соответствующим «уравнениям Эйнштейна»:
Z(g0)== 0; Zgl) = п(п -j- 1) (п — 2). (12.22)
,Эйнштейн полагал, что для объединения теорий электромагнетизма и гравитационного поля необходимо равенство коэффициентов жесткости уравнений этих полей, т. е. должно выполняться соотношение
[п(п — 1)/12] [12 — п(п+ 1) (az — 4)] = az(az + 1) (az — 2), (12.23)
•что возможно лишь при az = O и az = 3. При az = 3
ZT = Zf - 0; Z(Fl) = Z(gl) = 12. (12.24)
Любопытно отметить, что коэффициент жесткости уравнений Вейля для нейтринного поля в 4-мерном пространстве-времени принимает то же значение [216]: Z(a/1)=12.
Оказывается [217], значения коэффициентов жесткости Z^ тесно связаны со свойствами решения задачи Коши для соответствующего поля. Действительно, характеризуя число произвольных коэффициентов в разложении общего решения, Z^ указывает, насколько сильно система дифференциальных уравнений ^ограничивает класс допустимых решений. Начальные данные Жоши, задаваемые на некоторой гиперповерхности, также характеризуют произвол общего решения. Пусть Kn — число начальных данных Коши, зависящих от п аргументов (в общем случае, в частности, для гравитационного поля начальные данные Коши включают в себя также функции меньшего числа аргументов [4.1]), тогда имеет место соотношение [217]: Z^ = nKn-
Неоднократно отмечалась связь между числом начальных данных Коши и числом 5 динамических степеней свободы соответствующей физической системы; S = K п/2. Тем самым коэффициент жесткости определяет и число динамических переменных:
5 = KJ2 = Z(1)/2az. (12.25)
'Вспоминая, что в пространстве-времени четырех измерений гравитационное, электромагнитное и нейтринное поля имеют одинаковые коэффициенты жесткости ZM= 12, опять приходим к вы-
Скалярное безмассовое поле: Zq>0> = 0; Z<" = 2n. .Электромагнитное поле
<у(0) _ п(п— 1) (п — 2) (л — 3)
Zf----;
Z^n = [12 - П (п + 1) (п - 4)].
S Зак. 4152 2 242 воду, что все эти поля обладают двумя динамическими; степенями свободы (5 = 2).
В 5-мерном римановом многообразии согласно (L2.22) ZW = = 40, следовательно, из (12.25) находим, что S = 5. Это соответствует двум гравитационным, двум электромагнитным степеням свободы И ОДНОЙ степени свободы скалярного ПОЛЯ (f).
12.6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ И ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В МНОГООБРАЗИЯХ С СИГНАТУРОЙ (+---...)
1. До сих пор вопрос о размерности математической, модели: физического пространства-времени можно было понимать так: берем поле действительных чисел R1 и на его основе строим простую «надконструкцию» — я+1-мерное векторное пространство Rn+1. Далее ставится вопрос: чем обусловлен выбор я = 3? Но* можно подходить к данной проблеме иначе. Можно считать, что-сути пространственно-временных отношений в большей степени отвечает иная надконструкция над полем действительных чисел — некоторая алгебра также с двумя бинарными операциями, как и поле действительных чисел *. Если наложить на алгебру условия существования и однозначности операции, обратной произведению, и конечномерности, то выделенными оказываются четыре алгебры с размерностями я+1 = 1, 2, 4, 8. Первые три; размерности имеют по одному «представителю», что составляет содержание теоремы Фробениуса. Это коммутативные алгебры действительных (я+1 = 1), комплексных (я+1=2) чисел и некоммутативная алгебра кватернионов (я+1=4). Добавление-к ним одного из представителей размерности восемь — единственной альтернативной ассоциативной алгебры (октав) — составляет содержание обобщенной теоремы Фробениуса. Перечисленные алгебры являются гиперкомплексными системами, органически содержащими в себе сигнатуру (Н---...).
С помощью алгебры кватернионов удается построить хорошую модель 4-мерных пространственно-временных отношений (см., например [219]). Чисто мнимые кватернионы дают модель 3-мерного классического пространства R3; алгебраическое произведение двух мнимых кватернионов дает в качестве действительной части скалярное, а в качестве мнимой — векторное произведение соответствующих векторов в R3.
2. Различие в свойствах пространственно-временных многообразий различной размерности проявляется также при исследовании в них дискретных преобразований: пространственного отра-
* Эддингтон [218] на основе алгебраических соображений разрабатывал «фундаментальную теорию», претендовавшую на объяснение 3-мерности физического пространства. Однако эта теория, опиравшаяся на алгебраические-^-структуры Эддингтона, осталась недоработанной и не завоевала всеобщего признания.
243: -жения (Р-преобразование), отражения времени (Т-преобразова-ние) и зарядового сопряжения (С-преобразование). Рассматривая эти преобразования на примере уравнений Дирака для свободного спинорного поля, можно прийти к выводу, что операцию отражения времени, оставляющую инвариантными уравнения .Дирака, можно определить лишь в многообразиях с размерностями, отличающимися от п+1=4?—1. Аналогично операцию зарядового сопряжения, относительно которой инвариантны уравнения Дирака, можно определить лишь для пространственно-временных многообразий размерностей, отличных от п-\-1 = = 46+1.
