Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
1+ COS2 X0 Sin2JC0 A1 п і л і с\r\ \
Z2 = Tx^-= -Г; Ф = —ctg*0. 11.90а)
sin л;0 cos jc0 cos л:0 аі
Теперь отдельно рассмотрим обе ветви 5-мерной теории.
1. Подставляя решения в уравнение (11.83а), легко убедиться, что наличию внешнего материального источника соответствует лишь решение (11.89а). Для плотности р имеем:
р = ЗДшоС2 sin2 х° (1 — cos*0). (11.91)
Эволюция этой закрытой модели описывается точно такими же уравнениями, что и эволюция закрытой модели Фридмана [см. (6.22а), (6.23а)]:
а ~ a0(l — cos*°); т = а0 (*0 — sin *°). (11.92)
Полная масса внешней материи
Af -= 2я2а3р = (6п\/хс*) [1 — (2 cos*0/sin2*°) (1 — cos*0)] (11.93)
изменяется от нуля до бесконечности при X0 = Uy а затем опять уменьшается до нуля при *0 = 2я. С вкладом скалярного поля ф суммарная масса Вселенной остается постоянной.
Особо следует отметить, что при *°->0 (я) скалярное поле ф стремится к бесконечности: ф^2(Л/а0)/*°. Как отмечалось в § 11.4, ф определяет зависимость от координат отношения электрического заряда к массе согласно (11.43). Условие вещественности значений характеристик заряженных частиц накладывает ограничения на интервал времени т, в пределах которого сохраняется смысл вводимых понятий и уравнений [198]. Из (11.43) следует, что при Wo>l (это имеет место для реальных частиц) стандартные понятия теряют смысл раньше, чем возникают сингулярности.
2. Полностью геометризованной теории соответствует решение (11.90), при котором р = 0, и уравнение (11.83) выполняется тождественно. Эволюция такой закрытой* модели определяется следующими уравнениями в параметрическом виде:
а - O1 sin2*°/cos *°; т = U1 [In tg (*°/2 -f я/4) — sin*°]. (11.94)
Отсюда следует, что при *0 = я/2 радиус мира становится бесконечным, однако это достигается за бесконечный интервал времени т. Таким образом, в полностью геометризованной теории характер эволюции закрытой модели Вселенной качественно
232: иной, чем в модели Фридмана: модель бесконечно долго расширяется от сингулярного состояния.
Формально полагая правую часть (11.80) равной ух1 р, в данной модели получаем для эффективной плотности геометрической материи
р = з(1 + з cos2x°)/x??c2 sin6 х°; (11.95)
р изменяется от бесконечности при X0 = O до предельного значения р = 3/ка\с2 при х° = я/2.
б) Открытые однородные изотропные модели. Они находятся из уравнений:
— 1 + а2/а2 = — ЗФ а/а — 2Ф2 + хрс2а2/3; (11.836)
1 + а2!а2 — Іа/а - ЗФ + ЗФа!а + ЗФ2; (11.846)
— 1 + а/а = — Ф — 2Фа/а — Ф2. (11.856) Аналогичная замена аехрФ = ехр(м приводит уравнение (11.856) к виду (Lt + jLi2—1 = 0, откуда находим:
ехр їх = A sh Ф = cth х° — а/а. (11.876)
Из уравнения z—Z2—2 = —3z cth X0y соответствующего (11.88а), получаем:
z1 - cth (х°/2) _> a = O0 (ch — 1); <p = (Afa0) cth (jc°/2); (11.896) = 1 + cfa«^ ^ а= sh^o A cth Л (11.906)
2 ShJC0ChA;0 1 chjc0 Y A1 У 7
Опять отдельно рассмотрим обе ветви 5-мерной теории.
1. Первое решение соответствует ветви теории с внешним материальным источником. Подставляя (11.896) в (11.836), находим:
р = — 3/xa20c2sh2x° (ch*0 — 1), (11.96)
что физически неприемлемо. Эволюция этой модели описывается точно такими же уравнениями, что и эволюция открытой модели Фридмана (6.226) — (6.236):
a = q0(ch — 1); т = а0 (sh — х°). (11.97)
Опять отметим, что вследствие (11.43) сингулярность плотности (11.96) лежит за пределами области вещественности отношения электрического заряда к массе пробных частиц.
2. Полностью геометризованной теории соответствует решение (11.906), из которого находим закон эволюции открытой модели:
a = O1 sh2 x°/ch х°'у т = аг (sh — 2arctg ехр л:0 + я/2), (11.98) т. е., как и в открытой модели Фридмана, происходит бесконеч-
233: но долгое расширение от сингулярного состояния. Опять вводя эффективную плотность скалярной материи, получаем:
р = 3 (1 + 3 ch2 х°)/шіс2 sh6 *°f (11.99)
т. е. P изменяется от бесконечности при X0 = O до как угодно малых значений при достаточно больших х°.
В заключение этой главы приведем высказывание основоположника 5-мерной теории Калуцы, к которому, вероятно, присоединятся все серьезно познакомившиеся с 5-мерием: «Полностью учитывая все физические и теоретико-познавательные трудности, громоздящиеся на нашем пути при изложенном подходе, все же нелегко примириться с мыслью, что все эти соотношения, которые вряд ли можно превзойти по достигнутой в них степени формального единства, — всего лишь капризная игра обманчивой случайности» [14, с. 534]. Невольно возникает мысль, что достигнутое единство представляет собой внешнее проявление неких глубоких закономерностей, лежащих в самой основе физического мироздания и пока еще как следует не познанных.
Глава 12
ОСОБЕННОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО
4-МЕРИЯ
12.1. ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ 4-МЕРНОСТИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Монадный и диадный методы, лежащие в основе рассмотрения всех затронутых выше проблем, позволяли выделять из многообразий высшего числа измерений многообразия меньшей размерности, что дало возможность упрощать или интерпретировать сложные понятия и соотношения с помощью более элементарных. Как уже отмечалось, возникновение этих методов обязано задаче выделения 4-мерного пространства-времени из 5-мерного многообразия. Таким образом, по существу мы рассматриваем физические аспекты размерности классического пространства-времени. Лишь незначительный шаг отделяет нас от более широкого подхода — от постановки задачи физического обоснования 4-мерности пространства-времени *.
