Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Большая часть современных физиков придерживается данного (третьего) направления. Представляется, что наиболее глубокими н фундаментальными являются задачи первого направления. Именно их решение позволило бы совместить принципы квантовой теории и ОТО. Однако значительная часть этих задач не исключается в рамках второго и третьего направлений. Кроме того, к их решению можно идти различными путями. В этой главе постараемся проанализировать точку зрения большинства (третье направление) .
На пути выделения динамических гравитационных переменных встречается несколько существенных трудностей. Важнейшими из них являются ковариантность и нелинейность ОТО.
Ковариантность теории приводит к использованию значительно большего числа переменных, нежели ожидаемое число динамических степеней свободы. Кроме того, имеется широкий класс (коор-
7 Зак. 1152 293 динатных) преобразований, при которых применяемые переменные изменяются в довольно широких пределах. Необходимо разобраться в геометрическом и физическом смысле «лишних» переменных и уметь использовать произвол в выборе координат для описания динамических переменных. Эта задача будет решаться с помощью монадного и диадного методов в соответствующих калибровках. Заметим, что аналогичная трудность имеет место и в электродинамике.
Нелинейность ОТО приводит к чрезвычайно сложным соотношениям., между составляющими метрического тензора, рассматриваемыми как обобщенные координаты системы, и их обобщенными скоростями и импульсами. В результате затрудняется решение получающихся из уравнений Эйнштейна уравнений (вторичных) связей относительно тех или иных величин. Кроме того, нелинейность означает отсутствие суперпозиции отдельных частных решений. Это существенно новая ситуация по сравнению с электродинамикой, где свободное электромагнитное поле описывается линейными уравнениями.
10.3. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
В реализации программы выделения динамических гравитационных переменных удается продвинуться наиболее далеко с помощью гамильтоновой формулировки ОТО. Рассмотрим ее с учетом двух существенных факторов: способа введения времени и вопроса о соотношении обобщенных скоростей и импульсов.
Введение времени. Есть два способа построения гамильтонова формализма. Один основан на формальном использовании в качестве времени координаты X0, когда за обобщенные скорости выбраны частные производные от компонент поля по х°. Этот способ назовем координатным каноническим формализмом. Другой способ основан на использовании времени относительно системы отсчета без вращения, когда возможно глобальное расщепление многообразия на совокупность 3-мерных пространственных сечений и время. Как уже подчеркивалось, такие системы отсчета наиболее адекватно описываются монадным методом в кинеметрической калибровке. В этом способе, который назовем референционным каноническим формализмом, в качестве обобщенных скоростей следует использовать монадные к. и. временные производные.
Продемонстрируем эти два канонических формализма на примере скалярного поля, для которого второй указанный выше фактор не имеет места.
Плотность лагранжиана скалярного поля
194: запишем через монадные величины в кинеметрической калибровке:
X = (1/2) т0 У/Г [&2 + PiPi — (т2с21Щ T2I, (10.2)
где учтены формулы (3.55) и У—g=X0^h.
а) Координатный канонический формализм. В качестве обобщенной скорости берем dW/dx°, тогда обобщенный импульс равен:
P = дХ/д (Wt0) = Vh $ -+8 = (l/Vh) Р. (10.3а)
Плотность координатного гамильтониана скалярного поля опреде-* ляется стандартным образом:
Mh = -P-X = -^P2-
h дх° 2 У/г
1/А / ; т2с2 Ш2\ , dW D /m л \
--^pt — -р- ^2J — T0T' ^T (10-4а)
Существенно, что эта величина целиком не представляется через монадные к. и. величины и их плотности.
Канонические уравнения имеют обычный вид. Так,
дР/дх° = — (10.5а)
dW/dx° = №k/oP. (10.6а)
Здесь и в дальнейшем используется обозначение 6А/6В = дА/дВ — (д/дх1) (дА/дВл).
Видно, что (10.5а) с точностью до множителя совпадает с уравнением Клейна—Фока (3.54) (при а = 0), a (10.6a)—с (10.3a).
б) Референционный канонический формализм, ? качестве обобщенной скорости выберем +дуЧ^ё, тогда обобщенный импульс
P = дХ/д(+дТЧ) = т0Vh & & = (IZx9Vh)P. (10.36)
Плотность референционного гамильтониана определится в монадном виде:
Wp = (^)P-X=
tp Vh
I mV \
[PiPi--— ?2J. (10.46)
Непосредственным вычислением получаем референционные канонические уравнения:
+дТР = — SM1JSV-, (10.56)
+дтЧ = Шр/8Р. (10.66)
Опять (10.56) совпадает с ранее записанным уравнением Клей-
7* 195 на—Фока, а (10.66) совпадает с определением импульса (10.36),
Здесь мы впервые столкнулись с монадной производной (в кинеметрической калибровке) от плотности. Ее легко найти из определения производной Ли от плотности (1.54):
= т0 У/Г (+дт$ — SD). (10.7)
Соотношение обобщенных скоростей и импульсов. Этот фактор обусловлен сингулярностью лагранжианов электромагнитного и гравитационного полей. На примере механических систем сказанное означает, что обобщенные скорости qi некоторых обобщенных координат входят в лагранжиан X(q, q) таким образом, что уравнения Pi=dX Idqi нельзя решить относительно q\ (q, р). Это имеет место, когда часть указанных уравнений представляет собой соотношения только между q и р:
