Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
V 2 Aj .4 1 — ехр (У 2 arc tg sh y0/ch Уі ) j (ch2 У і + sh2 у0)'
sh2Jhdyl
U
бесконечен. Модель эволюционирует ОТ Уо=—OO до //о = 0. Время расширения модели о
= /fJL Yfi Г I + expfl/2 arc tg (sh yjchyj] _dy0_
V 2Л J Ji- ехр [У2 arc tg (sh y0fch ^1)] (ch2 Уі + sh2 у0)
Чг
также бесконечно.
3. В сопутствующих системах отсчета пространственные сечения имеют бесконечный объем, а время эволюции модели конечно (модели типа O1 при B^O и Л<0). Проиллюстрируем зависи-
121: мость замкнутости пространственного сечения от системы отсчета опять на примере модели мира, заполненного излучением с р = = (1/3) рс2 [95]. В хронометрических координатах сопутствующей системы отсчета метрика такой модели при ?<0 имеет вид:
ds2 = а2 sn2^*0 ^dx20 — dx2 — sh2X1 (de2 + sin*Qdy2)]r (6.29) dn2bxQ
где 0<fr = const; snfrx0 и dnfrx0— эллиптические функции Якоби, причем К — полный эллиптический интеграл:
л/2
К = I ^Ф
о V* -і i*?i/(i*?i-т вш«Ф
Объем пространственных сечений в этой системе отсчета бесконечен. Произведем преобразование координат: X0 = In\fyl—у\ ; x1=Arth (i/i/f/o) - В новой системе координат метрика принимает вид:
ds2 = ф sn2 {b In ]/" уі — у2 ) dy2-dtf-у2 (d№ +sturdy*) Cln2Uln]/ у\ — у\ ) Я
Модель эволюционирует в пределах —1<//о<оо. Область изменения у і определяется соотношением "[/r^ — ехр(4К/Ь) < yL <
< Vr Уо—* • Пространственные сечения хронометрической па отношению к новым координатам системы отсчета имеют конечный объем.
Аналогичный пример можно привести для B = 0 и Л<0. 4. В сопутствующих системах отсчета пространственные сечения имеют бесконечный объем и время эволюции модели бесконечно. К этому случаю относятся модели типа Af1 с пространственными сечениями нулевой № отрицательной кривизны (B^O) и с Л^О. Приведем два примера, иллюстрирующих зависимость конечности объема пространственных сечений от системы отсчета.
а. Модель мира с B = O и Л = 0, заполненного пылевидной средой. В хронометрических координатах сопутствующей системы отсчета метрика задается формулой
ds2 = a2x% [dx2 — dx2 — X21 (d62 + sin2 6 dtp2) J. (6.31)
Объем пространственных сечений бесконечен. Преобразованием координат
О 1 jT у\ У о . . _ Zyl_
U/0-l)2-^ (Уо-1)2~УЇ
метрика (6.31) приводится к виду 122 ds2 = 4a2 О+** V {dy2 _ dy2 _ y2 (d02 + sin2 Є2 йф2) ] . (6 32)
[(Уо- O2-JZi]
Выражение для плотности материи в хронометрической по отношению к новым координатам системе отсчета имеет физический смысл, если (у0—I)2 — Можно рассмотреть отдельно не-
сколько стадий эволюции модели. На стадии сжатия как сопутствующей, так и несопутствующей системы отсчета, когда J/i ^ УІ —объем пространственного сечения сопутствующей системы отсчета конечен.
. " б. Модель мира с В<с0 и Л = 0, заполненного излучением (р-=рс2/3). Сопутствующей (хронометрической) системе отсчета соответствует метрика
ds2 - O20 sh2 х° [dx\ — dx\ — sh2 (do2 + sin2 6 dip2) ]. (6.33)
Преобразованием координат х° = \пу/ у\— у\ ; х1 = arth (?/?). метрика приводится к виду
d*-4(l-^ri-T-Y [dyl - dy\ - у\ (de2 + sin2 6 dcp2) ]. (6.34) 4 V Уо-Уі J
Легко проверить, что объем пространственных сечений в несопутствующей системе отсчета (хронометрической по отношению к новым координатам) конечен. Время эволюции модели в новой системе отсчета бесконечно.
Таким образом, зависимость конечности пространственных сечений от системы отсчета имеет место для широкого класса однородных изотропных моделей Вселенной, заполненных как излучением; так и пылевидной средой. Можно показать, что аналогичная зависимость имеет место и для модели пустого мира де Ситтера. В последнем случае ситуация осложняется отсутствием физически выделенной (сопутствующей материи) системы отсчета.
6.5. НАБЛЮДАЕМЫЕ В МОДЕЛЯХ ФРИДМАНА
Л. Расширение Вселенной или эффект разбегания галактик обнаружен по красному смещению линий спектра света, приходящего от далеких галактик. Вычислим смещение частоты на основе моделей Фридмана. Для этого рассмотрим уравнения изотропных геодезических (3.58), (3.59). В моделях Фридмана в сопутствующей системе отсчета эти уравнения принимают вид:
(1/со)дТ(о + (?V) Vi© + 0Ю DikVlk = 0; (6.35)
dTV + (?%) уъУ — 2Wk = 0, (6.36)
где = ^kk = —hffi. Предположим, что нас интересует
123: свет, пришедший от некоторой звезды. Выберем сферические координаты с началом в точке наблюдения так, чтобы звезда лежала в экваториальной «плоскости» 6 = я/2, причем <р = 0, и пусть ее радиальная координата х[=г. Так как система отсчета сопутствующая, в процессе эволюции Вселенной координаты звезды меняться не будут. Используя значения компонент Dik и L1sr согласно формулам (6.4) и (6.14), из уравнений (6.36) легко найтиу что если в начальный момент ^2 |о = 0 и A3I0 = 0, то они останутся равными нулю и в дальнейшем, т. е. вектор kl направлен вдоль радиальной линии. Учитывая изотропность kд , находим:
k^glIv — 0->со2 — (k1)2 а2 - 0; к1 = со/а. (6.37)
Подставляя (6.37) и (6.14) в (6.35), приходим к уравнению
(д/дх° — д/дх1) соа - 0. (6.38) Решение этого уравнения
