Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
а. Закрытая модель Фридмана [14, с. 320] соответствует условиям ? = 2/a2>0; A = O; р = 0. В этом случае уравнения (6.8), (6.9) принимают вид:
— (3/а4) (da — а2) - хрс2/2;
(1/а4) (аа + а2) + 2/а2 = хрс2/2. Вычитая одно уравнение из другого, находим:
2аа — а2 + а2 = 0.
Произведя замену a2 = z(a), получаем решение
Z (а) = (C1 - а) а; а - (С,/2) [ 1 - sin (C2 + х%
:где C1 и C2 — постоянные интегрирования. Выбирая C2 так, чтобы при х° = 0 было а = 0, т. е. C2 = я/2, и обозначая С1/2 = а0, имеем:
* Геометрия 3-мерных пространств постоянной отрицательной кривизны была развита Н. И. Лобачевским (и независимо чуть позже Я- Бойаи и Гауссом) :и явилась первым примером неевклидовых геометрий. Она возникла в результате отказа от пятого постулата Евклида.
1116:
(6.19а) (6.20а)
(6.21а) а = а0( 1 —cosx0).
(6.22а)
Интервал времени dx определяется параметром х°: d% = adx°. Отсюда находим изменение времени через параметр х°:
т = а0 (х° — sin х°). (6.23а)
Уравнения (6.22а) и (6.23а) определяют в плоскости (а, т) диклоиду в параметрическом виде. Таким образом, полученное решение описывает модель с закрытыми пространственными сечениями, радиус кривизны которых «пульсирует» во времени. Плотность материи получаем, например, из (6.19а):
р = Gfxa20C2 (1 — cos X0)3. (6.24а)
При х° = 0, 2п ... (моменты времени т = 0, 2па0...) плотность материи становится бесконечной, т. е. имеют место особенности. Это говорит о том, что правомерно рассматривать только один цикл циклоиды. Около особых точек, по-видимому, выводы ОТО теряют силу. Следует ожидать, что вблизи них при сверхплотных состояниях материи доминируют закономерности квантовой теории и физики элементарных частиц.
б Открытая модель Фридмана [14, с. 330] соответствует условиям B =—2/а2<0; A=O; р = 0. Учитывая их, уравнения (6.8), (6.9) можно записать в виде
— (3/а4) (da — а2) =хрс2/2; (6.196)
(1/а4) (d'a + а2) — 2/а2 - хрс2/2. (6.206)
Из них получаем уравнение для а(х°)
2аа — а2 — а2 = 0. (6.216)
Решение имеет вид:
a = (C1/2) {(1/2) [C2 exp X0 + (1 /C2) ехр (-х0)] - 1},
где Ci и C2—постоянные интегрирования. Выбирая C2= 1 и обозначая С\/2 = а0у находим зависимость а(т) в параметрическом виде
a ^a0(Chx0-I); (6.226)
т = O0 (shx° — x°). (6.236)
Выбирая область изменения хР: —оо<х°^0, приходим к сжимающейся открытой модели Фридмана. При O^x0Coo получаем расширяющуюся открытую модель Фридмана. Из уравнения (6.196) находим закон изменения плотности материи:
р = 6Iko2C2 (ch X0 — I)3. (6.246)
При T-^O (X0-^O) плотность материи, как и в закрытой модели, стремится к бесконечности. По-видимому, опять в рамках клас-
117: сической ОТО неправомерно рассматривать области в окрестности сингулярности.
в. Статический цилиндрический мир Эйнштейна [14, с. 287] явился первой космологической моделью Вселенной, построенной на основе ОТО. Этой модели соответствуют условия d = 0 (статичность); Л=т^0; р = 0. Подставляя эти условия в (6.8) и (6.9), находим:
0 = крс2/2 — Л; (6.19в>
В = крс2/2 + Л. (6.20в>
- Пространство Римана В>0 Пространство Евклида B=O Пространство Лобачевского В<0
Сэ Л ^ My/ I /
Il С Oi п
А<0 ^Ol^^ Of п \
Рис. 13. Однородные изотропные космологические решения
Из (6.19в), (6.20в) получаем, что пространственное сечение в этой модели имеет положительную постоянную кривизну (закрытая модель):
В = 2/а2 = крс2 >0; Л > 0; a = const;
кроме того,
118: р 2/кс2а2 = 2А/кс2; А = 1 /а2. (6 24в)
Учитывая, что объем мира конечен, легко подсчитать массу всей материи в модели мира Эйнштейна:
Al = PV = 4п2а1кс2. (6.25)
г. Метрика де Сеттера [14, с. 299]
ds2 =(1 + -^f- ) dxO — 1 +**дг*/3 _ ^ (d02 + Sin2 ed(p2) (6-26)
описывает пустой мир (без материи). Эту метрику можно рассматривать как частный случай решения Коттлера (4.87).
д. Прочие однородные изотропные модели Вселенной. Не приводя подробных выкладок, изобразим (рис. 13) эволюцию во времени всех девяти возможных вариантов однородных изотропных моделей, причем с учетом обсуждаемых далее данных наблюдений укажем лишь те модели, которые хотя бы на отдельных этапах описывают расширение Вселенной. На всех графиках по оси ординат отложены значения а, а по оси .абсцисс значения т.
Сделаем несколько замечаний.
1. Статическое состояние однородной изотропной Вселенной невозможно (при А^О) или оказывается неустойчивым (при А>0 — в модели Эйнштейна).
2. Отрицательная космологическая постоянная соответствует, с ели можно так выразиться, усилению космического притяжения, что приводит к неизбежности замены расширения сжатием.
3. Положительная космологическая постоянная соответствует некоему космическому отталкиванию.
4. При .A>0, ?>0, как видно из рис. 13, имеется несколько возможностей: неустойчивое статическое состояние, описываемое моделью Эйнштейна; ускоренное расширение от неустойчивого статического состояния; замена сжатия расширением; замедленное расширение; замена расширения сжатием (аналог закрытой модели Фридмана); извечное расширение от сингулярного состояния сначала с замедлением, а затем с ускорением.
