Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
(6.7):
113: 3Rih = Bfiih, (6.10)
где В(х°)—функция, не зависящая от пространственных координат. Учитывая, что в пространствах трех измерений тензор Ри-мана — Кристоффеля выражается через тензор Риччи и скалярную кривизну
3RiIkt = K3Rjk - hk3Rji + hjk3Ri - Hjl3Ri -
-(1/2) (Hjhjk-Hihjl) 3R9 (6.11)
находим, что все компоненты тензора Римана — Кристоффеля алгебраически определяются функцией В(х°) и компонентами метрического тензора Hik:
»я?/« = (1/2) В Oihjk-Hihn) ; , (6Л2)
sRih = Bhih; SR = -^3B.
В зависимости от знака В будем различать пространственные сечения (пространства) трех типов:
а) постоянной (в смысле пространственных координат) поло-жительной кривизны, если ?>0;
б) постоянной (в том же смысле) отрицательной кривизны, если В<С0;
в) нулевой кривизны, если B = 0.
Очевидно, что пространства разных типов могут различаться лишь видом функции b(xl) в сферически-симметричной метрике [согласно (6.2)]
dl2 = a2 Idx2l — Ъ2 (Xі) (de2 + sin2 ЄЖр2)]. (6.13)
Выясним, каковы эти функции. Учтем, что отличны от нуля только следующие компоненты коэффициентов связности:
L212 = L313 = Vfc L323 = ctg 6; L122 = - W; J
L133 = — W sin2 6; Ll3 = - sin Є cos Є, J
где штрих означает дифференцирование по х{. Подставляя (6.14) в (6.10), получаем:
— (2/Ь) Vt = Ва2\ 1 _b'2 — bb" = a2b2B, откуда следует уравнение для b (х1):
b»b — b'2+ 1 - 0. (6.16)
Возможны решения этого уравнения трех видов:
= (IzC1) sin (C1X1+ C2); 1
h = (1 A) sh (C1X1 + C2); b3 = ± X1 + C2, |
где Cb C2 — постоянные интегрирования. С помощью, например, 114
первого уравнения из (6.15) находим, что первое решение соответствует пространствам положительной кривизны:
В = 2/а2 > О ^b1 = (1 /C1) sin (C1X1 + C2); (6.18а>
второе решение соответствует пространствам отрицательной кривизны
В = — (2/а2) < 0 ^b2 = 1 /C1 sh (C1X1 + C2); (6.186)»
третье решение — пространствам нулевой кривизны:
B = O^b3 = ±х1 + С2. (6.18в)і
Исследуем геометрические свойства этих пространств.
а. Пространства постоянной положительной, кривизны описываются метрикой
dl2 = a2 \dx\ + sin2 Jc1 (dB2 + sin2 Bdcp2)], (6.1 За)»
где без ущерба общности принято Ci=I, C2=O. Параметр Xх может изменяться в пределах О^х^я.
Длина окружности и площадь сферы с центром в начале координат, характеризуемые параметрами х1 и 0 = зт/2, соответственно* равны l = 2nasinxi, S = 4na2sinx1. При увеличении х1 они сначала растут, достигают максимальных значений (/Маке = 2л;а, 5макс = = 4яа2), затем уменьшаются до нуля. Радиус г(х{) окружности* или сферы, соответствующий параметру х\ равен ахК Его максимальное значение гмакс = па. Отношение длины окружности к радиусу l/r = 2n sin xl/xlc2n.
Таким образом, в данном случае мы имеем дело с геометрией на 3-мерной сфере с радиусом а в 4-мерном евклидовом пространстве. Объем всего 3-мерного пространства конечен:
я я 2л
V = f f f a3 sin2 X1 sin Qdx1dQ dcp = 2я2а3.
О О O
По этой причине такие пространства обычно называют замкнутыми или конечными *.
б. Пространства постоянной отрицательной кривизны описываются метрикой
dl2 = a2 [dxi + Sh2X1 (dB2 + sin2Bdcp2)], (6.136)
где опять принято C1 = I, C2=0. Параметр х1 теперь может изменяться в пределах O^XiCoo.
Длина окружности и площадь сферы с центром в начале координат и с параметрами х\ Q = n/2 равны: l = 2nashx\ S =
* Геометрию таких замкнутых пространств развил Риман. Она явилась, вторым (после геометрии Лобачевского) примером неевклидовых геометрий. Геометрию 3-мерных пространств постоянной положительной кривизны часто« называют римановой геометрией (,в узком смысле). Возможность описания реального пространства такой сферической римановой геометрией подробно обсуждал Клиффорд [14, с. 38], а затем Мах [14, с. 73] задолго до создания ОТО.
IlS = 4jt«2 sh 2X1. При увеличении х1 они изменяются от нуля до бесконечности. По-прежнему г=ах1 и может иметь сколь угодно ^большое значение; l/r = 2n sh х{/х1 >2п. Объем пространства бесконечен. По этой причине пространства постоянной отрицательной :кривизны называют открытыми. Они описываются геометрией «Лобачевского *, которую можно рассматривать как геометрию на гиперболоиде в 4-мерном евклидовом пространстве, отчего ее часто называют гиперболической.
в. Пространства нулевой кривизны описываются метрикой
d/2 = a2 [dxf + Xf (dG2 + sin2 вйф2)], (6.13b)
т. е. являются плоскими или евклидовыми пространствами с хорошо известными свойствами. Напомним, что в евклидовом пространстве //r = 2jt.
6.3. ОДНОРОДНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ
Вернемся к 4-мерному пространству-времени, описываемому уравнениями (6.8), (6.9), где космологическая постоянная А может быть положительной, отрицательной и нулевой. Кроме того, возможны пространственные сечения трех типов. Итого, мы имеем .девять возможных вариантов моделей однородной изотропной Вселенной. Сюда следует добавить различные виды уравнений состояния материи (соотношений между р и р). Рассмотрим подробнее несколько из этих вариантов:
