Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
COS 6 = COS 60 COS (OX0, J
где Co = IlzQ(IlFSaQsinBo). Эти формулы описывают круговую орбиту, прецессирующую с угловой скоростью 2aQ2c. Здесь мы пренебрегли членами, пропорциональными aQrg/r0y и членами более высокого порядка.
Для перехода в систему отсчета вращающейся платформы произведем последовательно три преобразования координат, а именно:
а) переход к «следящей» за прецессией Лензе — Тирринга системе координат:
х'0 = х°; ґ = г; В' = 6; ф' = ф — 2x°aQ2\ (5.50)
б) поворот системы координат на угол я/2 — 60:
= г" = г'; 8" = arc cos (cos 6' sin 80 — sin 0' sin <p' cos 0O); ф" = arc tg (tg ф' sin 80 + ctg 8' cos 80/cos ф')
(5.51)
(в этой системе координат платформа движется по экваториальной •окружности с угловой скоростью dy'/dx^^te);
в) переход к вращающейся системе координат с угловой скоростью со:
= х"°; г"' = г"; 8"' - 8"; ф'" - Ф" — сох"0. (5.52)
В дальнейшем штрихи писать не будем.
Система отсчета вращающейся платформы является хронометрической по отношению к полученной таким образом системе координат. Вычислив монадные физико-геометрические тензоры, подставим их в уравнения (3.21) с вкладом негравитационных сил справа. С помощью этих уравнений рассмотрим крутильные колебания маятника, представляющего собой невесомый стержень с расположенными на концах одинаковыми массами. Представляет интерес поведение маятника при двух ориентациях, когда возникают его вынужденные колебания, причем будем полагать, что его отклонения от положения равновесия малы.
1. Пусть в положении равновесия маятник ориентирован вдоль радиуса и пусть его ось закреплена так, что он имеет возможность отклоняться только в плоскости, перпендикулярной плоскости движения платформы (колебания по углу 8). Пренебрегая в соответствующем уравнении мировой линии членами второго по-
1С9 рядка малости, имеем для угла отклонения от положения' равновесия:
J2Hdi2 + 2ldt/di + (К + со2) ? - ± 12c2aQ? cos B0 sin сот,, (5.53>
где
со = cox0/T = + Q (1 + 3rg/Ar0 + SaQ sin 60) (5.54>
— угловая скорость вращения платформы в собственной системе отсчета платформы, совпадающая при 60 = я/2 с (5.46); К и К — соответственно коэффициенты упругости и трения.
2. Пусть маятник ориентирован в перпендикулярном плоскости: вращения платформы направлении и имеет возможность отклоняться только в радиальном направлении. Тогда для угла отклонения имеем уравнение
d2lld%2 + 2МЩ% +[К — Sc2Q (1 + rg/r0 + 2aQ sirr60>] ? =
= ± 6c2aQ3 cos B0 sin сот. (5.55
В иных ортогональных указанным ориентациях маятника вынужденные колебания отсутствуют. По-видимому, описанные общерелятивистские эффекты можно обнаружить современной экспериментальной аппаратурой.
5.6. АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЧАСТИЦЕПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА —МАКСВЕЛЛА ТИПА D
Для полноты картины в этой главе следует упомянуть о* более общих,, нежели метрика Керра, аксиально-симметричных стационарных решениях типа /> по Петрову. Оказывается, наиболее общее «частицеподобное» (создаваемое частицей-центром) решение уравнений Эйнштейна—Максвелла (с космологическим членом) типа D содержит семь произвольных параметров [90]: m, п, g, 6,. q, g, Л. Эти параметры обычно интерпретируют следующим образом: т — масса; п — параметр НУТ (Ньюмена, Унти, Тамбурино) (мнимая масса?)1; а — параметр, характеризующий вращение; Ь — ускорение; q—электрический заряд, источника; g — магнитный заряд; Л — космологическая постоянная. Часто говорят о зависимости метрик от четырех величин: т + \пу a+\b, q+\g, Л. К данному множеству метрик относятся решение Шварцшильда, метрики; рассмотренные в § 4.7, и др. (см. в [91]).
Выпишем несколько более общих решений.
1. Обобщением метрики Керра на случай электрически заряженного источника является метрика Керра—Ньюмена [92], зависящая от трех констант
ds*J 1- rt'~*a)d4- гЧ-a-We a2cos20)^-
V Г2 4" о COS2 6/ ° rS + fl2_rgr+e2
( (rr — е?) a2 sin2 0 \ 2 (/у-e?) a sin2 0
-{* + *•+ '2 + a2coS20 jSin2e^2+ > + *We ^
где rg = 2km/c2; eg = Vk qjc2.
2. При обобщении метоики Шварцшильда на случай пф0 получается решение НУТ [93]:
110: ( rgr + 2n2 \f e \2
ds2 =^l- r2 + n2 J ^dx0 + 4n sin2 ~Y dy] —
dr2
• (r2 + AZ2) (d62+sin2 е^ф2). (5.57)
1 — (rgr + 2n2)/(r2 + Ai2)
3. Обобщением решения НУТ, зависящим от пяти констант, является метрика [94] (записана не в координатах Бойера—Линдквиста):
f 6 \2 dr2
ds2 = Ф (г) ^dx0 + 4я sin2 — dq>J — "o(rjf ~~(r2 + ^2 + sin2 6d(f>2)9 (5'58)
ГдГ + 2п2 + (8/3) An* q2 + g2 А где Ф(г) = 1---+ -pq^r + x C2 + 5*2)¦
4 Выпишем в координатах Бойера—Линдквиста метрику, которая так же обобщает решение НУТ, как метрика Керра обобщает метрику Шварцшильда:
/ rgr + 2п2 — 2an cos 6 \
ds2 = ^ 1 — г2 + _ 2ол cos е + a2 COS2 Є J dxV ~~ а2 + а2 cos2 Є + Ai2 — 2ап cos Є
>2 ?2 _ ^r _ П2 sin2 e (г2 + a2 + Al2)2 — (г2 + a2 — rgr — Ai2) (а sin2 Є + 2аг cos Є)2
dr2 —
я cos б)2
^Ф2 +
г2 -f G2 cos2 6 + я2 — 2аАі cos 6
2 {2а sin2 Є (rgr/2 + аі2) — 2аі (г2 + а2 — rgr — ai2) cos Є] + r2 + G2 COS2 Є + AI2 — 2ап cos Є ^*0^
