Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
v1 = v2 = 0; v3 = со0; v0 = — со0г gr a sin2 8/(р2 — /у);
v1 = v2 =0; v3 = - CO0P2 Sin2B • Д/(р2 — rgr).
Выбранную таким образом систему отсчета можно назвать жестко вращающейся, так как она удовлетворяет следующим условиям:
1) направления 3-мерных скоростей точек поперечного сечения параллельны в исходной системе отсчета. Это означает, что
yv^Wv) = O9 (5.41)
V
где yW = Illiv — VUvv/V2 = /Г — I11Iv— метрический тензор 2-мерного поперечного сечения; v2 = HllvV11Vv; P = v^/v\
2) мгновенные угловые скорости всех точек поперечного сечения одинаковы, т. е. Y^vV-u ^—гДе = — 3-вектор
первой кривизны представляющей точки во второй системе отсчета (исходной).
4. Системы отсчета уже конкретизированы в предыдущем пункте. Остается только подставить компоненты Ац, » скорости (5.40) и производные от них в формулу (5.39). С помощью формул (5.3) — (5.5) находим точное выражение для угловой скорости прецессии:
106:
J (5.40) (5 42)
—g— (r2 + г JT -4ф2 V *
Разложим эти компоненты в ряд, ограничиваясь членами порядка a/r, rgjr и rga/(?0rs. Введя момент инерции / и угловую скорость собственного вращения со центрального тела согласно равенству Ma = Iсо, получим наблюдаемые значения угловой скорости прецессии гироскопа:
Q(I) ~ (cos Є/у2) (— о)0 + 2?co//c2r3); о і
0/04 sine f З Ш . ^co/ \ Г (5-43)
Q (2)« —-— (O)0 ---_©+__).
о T \ 2 с2/- с2/-3 J
Эта формула хороню согласуется с приближенной формулой, полученной Шиффом [89]:
о 2
Ш
где а — внешнее негравитационное ускорение.
Последний член в (5.44) соответствует последним членам в (5.43). Вклад этого слагаемого обычно называют прецессией Лензе — Тирринга или прецессией Шиффа. Он обусловлен угловой скоростью вращения хронометрической системы отсчета, со-
ответствующей системе координат Бойера — Линдквиста.
Первый член в (5.44) соответствует второму члену в выражении для Q (2) [см. (5.43)]. Это слагаемое обычно называют о
геодезической прецессией или прецессией де Ситтера. Оно определяется распределением скоростей сопутствующей системы отсчета относительно второй и ускорением последней [четвертый и пятый члены справа в формуле (5.39)].
Второй член в (5.44), описывающий прецессию Томаса, возникает при несвободном движении гироскопа уже в СТО.
Основное различие формул (5.43) и (5.44) состоит в наличии первых слагаемых (нулевого порядка) справа в (5.43). Эти слагаемые соответствуют кажущейся прецессии, обусловленной поворотом корпуса спутника при орбитальном движении, и возникают вследствие нашего выбора сопутствующей системы отсчета.
Другое различие состоит в множителе 1/у2=1/(1 — v2), возни-
107: кающем из-за того, что у Шиффа дифференцирование производилось по координатному времени а не по локальному времени неподвижной (второй) системы отсчета.
Наконец, запишем выражение для угла прецессии осп гироскопа Aa за один оборот при его движении в экваториальной плоскости:
да=_!_ГШтда2я- 2лШ +— — , (5.45)
CJOO C2r C2r3 CO0
где Q = I/ QiliQ*1 . Из этой формулы очевиден смысл членов
о г о о
нулевого порядка в (5.43).
5.5. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОБНЫХ ТЕЛ НА КРУГОВЫХ ОРБИТАХ
В МЕТРИКЕ KEPPA
1. Эффект, основанный на разности частот малых колебаний пробных тел в двух взаимно перпендикулярных направлениях на экваториальной круговой орбите (эффект Широкова), в метрике Keppa подсчитывается совершенно аналогично случаю метрики Шварцшильда (см. § 4.5). Основное различие состоит в появлении двух возможностей: а) вращение по круговой орбите происходит в направлении вращения источника и б) вращение в противоположном направлении. Опять будем различать эти возможности соответственно знаками плюс и минус. Опуская все промежуточные выкладки, приведем результат во вращающейся по круговой орбите системе отсчета [Rodichev S. V. Abstracts of Contributed Papers for the Discussion Groups. Proc. Intern. Conf. on General Relativity and Gravitation. Jena, Univ., 1980, p. 365]:
сої ± = ± cQ (1 + 3rg/4r0 T SaQ) (5.46)
— частота колебаний в направлении, перпендикулярном плоскости
орбиты, где Q = Vгg?r\;
со2± = ±cQ(1 — 3rg/4r0 ± SaQ) (5.47)
— частота колебаний в плоскости орбиты;
AT± = (2яIcQ) (3rg/2r0 =F 6aQ) (5.48)
— разность периодов. Очевидно, при а = 0 эти формулы совпав дают соответственное (4.62), (4.65) и (4.67).
2. Рассмотрим эффект крутильных колебаний маятника относительно платформы, вращающейся по «круговой» неэкваториальной орбите вокруг источника метрики Ке.рра (Лензе — Тирринга) [Карпов О. Б., Родичев С. В. — Известия вузов. Сер. физ., 1982, № 1, с. 47]. Этот эффект обязан появлению в системе отсчета платформы периодических сил инерции, действующих на концы маятника.
108: Уравнение траектории (геодезической) центра масс платформы, вращающейся по орбите радиуса r0 = Const и составляющей угол G0 с направлением момента источника, приближенно находится решением уравнений геодезической (или уравнений Гамильтона — Якоби, как в [9, с. 417]):
Ф - arc sin (ctg Є/ctg Є0) + 2aQ2x°; J ^5
