Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Вместо непосредственного ^ решения радиального уравнения геодезической (5.14) проще исходить из выражения для квадрата интервала (5.1). Умножая обе части (5.1) на т\\ds2 = m2/d%2y при 0 = я/2 = const, приходим к соотношению
г2 r\r(r — г Л 4- а2]
(р1)2 - * (P3)2 = O- (5.:19)
ml = т2
г(г-
rg) + a2 - - j-Jg
Произведя с помощью (5.18) переход от дифференцирования по т к дифференцированию по ср, находим:
г _ dr d<p _ [от0 (1 — rgu) + (Eajc2) rgu] du Р - m4^~dT - 1 — ГgU -{- CL2U2 dTf '
где использовано обозначение u=l/r. Подставляя (5.15), (5.18) и (5.20) в (5.19), приходим к обобщению на метрику Keppa шварц-шильдовского закона сохранения энергии (4.31) в сферических координатах:
Iom0 (1 — /у/) + (.Eа/с2) /у/]2 [(du/dy)2 + и2 (1 — г^u + а2и2)21( 1 — гgu)\ =
= [Е/с* (1 — FgU) — ml] (I-TgU+ O2U2)3. (5.21)
Обсудим некоторые физические следствия этого уравнения, разлагая его в ряд по rgu. Ограничимся величинами до второго порядка по rgu включительно. При этом, имея в виду свойство а2<^ будем считать rgu и аи одного порядка. Кроме того, естественно положить из (5.21) находим:
v2lc2~rgw, (E2 — m20c*)lmlcb~rgu. Тогда
-к
ІУ+4
E2 — mgc4
WqC4
+ г „и
2Ea (E2 — т20 с4)
HIqCgO
— г\ U2
2 Е3а т^сео
+ U3O2 (г — 2а2и).
(5.22)
Продифференцировав (5.22) по и, запишем обобщение на случай метрики Keppa ньютонова- (координатного) закона гравитационного взаимодействия в сферических координатах:
2Ea (E2 — mgc4)
2 ( d2u , о2 I--
1
mic6o
HIqC6G
¦ r2gu + — FgU2O2 — Aa2U3O2.
(5.23)
Имея в виду, что первый справа член rg{2 соответствует ньютоновой силе гравитационного притяжения,- а предпоследний член —
101: эйнштейновской «силе притяжения» [см. (4.32)], можно в силовой (координатной) интерпретации записать:
f — k Мт (\ 2аЕ 1)2 ^ 1 8k2M2m а ГР г2 \ Gm0C2 с2 J
g
_ SkMnl ^mdv (5.24)
г4 г5 V 7
т. е. появляются две керровские «силы», обратно пропорциональные г3 и г5. Кроме того, в ньютонову силу притяжения входит дополнительный множитель, зависящий от вращения центрального тела и параметров движения пробного тела.
5.3. ДРЕЙФ ТОЧКИ ВСТРЕЧИ ДВУХ МОНОПОЛЬНЫХ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ, ДВИЖУЩИХСЯ ПО КРУГОВЫМ ОРБИТАМ НАВСТРЕЧУ ДРУГ ДРУГУ (ЭФФЕКТ МИЦКЕВИЧА)
Эффект Мицкевича [87,88] в хронометрической по отношению к координатам (5.1) системе отсчета. Будем исходить из радиального уравнения геодезической (5.14), которое для круговых экваториальных орбит (и]=U2=O; 0=я/2) с учетом (5.15) можно представить в виде
[2г (г — rg)2 — rga2] (р3)2 + 2rgaEp* — E2rg = 0. (5.25)
Решая это квадратное уравнение относительно импульса р3, имеем:
Р± = ± (Е±/с2) У>У27/[(r - rg) ± aV^J2Fl (5.26)
Здесь учтено, что интеграл энергии Е± различен для частиц, движущихся по орбитам с одним и тем же значением г, но в противоположных направлениях. Подставляя в p3± = m±d^±/d% еще раз (5.15), находим:
dvjdx = ± V(rg/2) (r-rg)/r [(г — rg)±a V7j2r\. (5.27)
Интегрируя, получаем точные выражения для периодов обращения частиц вокруг источника:
Т± = (2nr/cV(rg/2) (r-rg)) [{r-rg)±a У^/2Г]. (5.28)
Таким образом, в рассматриваемой системе отсчета период обращения частицы, движущейся в направлении вращения источника (Г+), больше, чем период обращения частицы, движущейся в противоположном направлении (Т-). Разность периодов
Т+ — = 4 па/с V1 — rg/r (5.29)
определяется характеристикой а центрального источника. Следует особо подчеркнуть, что эта величина в основном приближении не зависит ни от радиуса круговой орбиты, ни от массы источника,
102: ни от гравитационной постоянной. Это существенно новое качество гравитационного эффекта, присущее метрике Керра.
Подсчитаем угол Дф смещения (дрейфа) точки встречи пробных частиц (рис. 12). Частица, движущаяся в направлении вращения источника, будет отставать. Очевидно, что встреча частиц произойдет через время
/ - l/(v+-f v_) - Т+Т^с (Т+ + TJ).
Угол смещения точки встречи от угла ф = л равен:
Точна Встречи
Дф = со+ (1±.
t
л(Т+-Т_)
T+ +
ал
Vrg/2r
(5.30)
Рис. 12. Эффект Мицкевича. Дрейф точки встречи пробных частиц на круговых орбитах
г (I-V)
Легко убедиться, что при а = 0 периоды обращения двух частиц (5.28) одинаковы и совпадают со значением T в метрике Шварцшильда, а в основном приближении по rjr представляют собой период обращения в теории Ньютона T0 = 2nr/c"\/rg/2r = 2nr/v0, где V0 = YkMjr — линейная скорость движения точки по круговой орбите в ньютоновом гравитационном поле.
Как уже отмечалось, в метрике Керра интегралы энергии Е± и момента о± для частиц, вращающихся в разные стороны по круговым орбитам с одним и тем же г, различны. Подсчитаем эти величины. Чтобы найти Е±, воспользуемся соотношением (5.19), следующим из выражения для квадрата интервала. Для круговых орбит при учете (5.15) оно имеет вид:
[E2±jc*-ml(l-rJr)]=0.
[r(r-rg) + a*] (р3)2-Отсюда вытекает, что
f Е2±/с* - m20 (\- rgjr)
(5.31)
Г (г — rg) + а2
Приравнивая друг другу выражения (5.26) и (5.31), находим:
