Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
п
Bt...k = (-l)nBf---shi{...hsh,
(3.74)
так как согласно (3.68) hoo=hoi = 0.
Аналогично из произвольного тензора ?aui? можно построить компоненты пространственно-спроектированных тензоров меньшего ранга, например:
mm і п—т
Bi7^k = (—. . X . . лі = b^ I te^ 2 ^3J5)
n—m n—m m n m
Из рассмотренного следует, что в хронометрических системах координат пространственно-спроектированные тензоры соответствующего ранга определяются величинами только с пространственными компонентами (/, ft, ... = 1, 2, 3) этого же ранга, найденными по формулам (3.73) — (3.75), а временно-спроектированные компоненты — ковариантпыми временными компонентами согласно (3.72) и (3,75). Выпавшие из рассмотрения контравариантные пространственно-спроектированные компоненты с временным индексом (типа B0" линейно выражаются через рассмотренные величины и не представляют самостоятельного интереса, например:
B0 = - BX = - BiIi0i = - (SJg00) Bi.
Указанные выше спроектированные величины в хронометрических системах координат обладают замечательными свойствами: они инвариантны при произвольных преобразованиях координаты х° (3.69) и ковариантны относительно чисто пространственных преобразований координат xі (3.70). Первое называют свойством хронометрической инвариантности, а сами величины (3.72) — (3.75) — хронометрически-инвариантными (х. и.) 3-тензорами или хронометрическими инвариантами.
Это свойство указанных величин продемонстрируем на примере произвольного вектора Bix . Рассмотрим преобразование различных его компонент при выполнении (3.69) и (3.70) :
Во = B^dxixZdxro = B^dx0Idxf0;
Bk - B^dxixIdxk = B0dx°ldxk + BfixiIdxk;
Bfo = B^dxfoId xix = BW0Idx0 + Bi dx'0Idxi;
Bk = B^dxkIdxix = Bidxk!dxi.
<62Учитывая, что g'00 = g^idx^ldx^dx^ldx^ = g00(dx0/dxr0)2t убеждаемся в инвариантности B0ZYgoo • Очевидно, что Bk коварнантно относительно пространственных преобразований. В хронометрической инвариантности Hik убедиться нетрудно. Легко показать также, что произведение X. и. величин также X. и.
Отметим, что в хронометрических системах координат.
K=I- I0Vh9 (3.76>
где H— определитель матрицы {hik}. С учетом этой формулы имеем выражения для 3-мерных тензоров Леви-Чивиты.
ет = Vh E0ijk = Vh Eijh- ет = - (Wh) Eijk, (3.77)
где Eijk — 3-мерный символ Леви-Чивиты.
Из сказанного выше следует, что монадные физико-геометрические тензоры в хронометрических системах координат хронометрически-инвариантны и имеют вид:
*Ft = X0 (Tf, о —T0, і);
*Aik - (1/2) (Tfifc - т,, ,) + (1/2) (rtFk - TkFiY *Dik — (1/2) T°hikto.
(3.78}
Здесь и в дальнейшем звездочкой слева вверху будем обозначать монадные величины и операторы в хронометрической системе координат.
В хронометрических системах координат вследствие того, что *Nik= 0, существенно упрощается оператор монадного временного дифференцирования (3.23):
*дТВІ\\\ =т °дВІ\\\/дх°. (3.79)
Он не зависит от ранга и ковариантности дифференцируемой величины.
Для записи монадного пространственного ковариантного дифференцирования учтем, что в формуле (3.26) теперь H1kt0 = О, а 3-мерные связности можно представить в виде
- HStitsLkyo = Akis = (1/2) hkl CdiHls + *dshti - *dihis), (3.80)-
где Akis —дополнительная к монадным физико-геометрическим тензорам X. и. величина; значком *dt здесь обозначен новый х. и. оператор пространственного дифференцирования:
% = д/дх* - (goi/gj д!дх\ (3.81)
также не зависящий от ранга и ковариантности дифференцируемой величины. В результате для оператора (3.26) получаем вы-
ражение
63.= ::: + A • • •-
m n
- AliBkc[;; - *vX'::. (3.82)
m
Все формулы и уравнения в монадном виде, приведенные в § 3.4, сохраняют свой вид в хронометрических координатах. В них нужно произвести незначительные переобозначения: перейти к 3-мерным индексам и учесть появление нового оператора *<Зг- и величины A^ [согласно (3.82)].
3.6. НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА. КИНЕМЕТРИЧЕСКИЕ
ИНВАРИАНТЫ
Важный класс систем отсчета образуют нормальные системы отсчета, т. е. системы без вращения (Aixv = 0). Для них характерна возможность введения такой однопараметрической совокупности 3-мерных пространственно-подобных гиперповерхностей
f(K) (*v) = 0, что монаду Xix можно считать пропорциональной нормалям к этим гиперповерхностям (рис. 8):
ЬЧ = df{k) (х^/дх», (3.83)
f(h)(x П '
Рис. 8. Глобальное 1+3-расщепле-ние пространства-времени в нормальных системах отсчета на линии времени и совокупность 3-мерных про-• странственно-подобных гиперповерхностей
где Ъ — скалярная функция координат. Для нормальной конгруэнции можно подобрать такую систему координат, что в качестве параметра і, нумерующего совокупность гиперповерхностей, будет выступать временно-подобная координата я0*, а уравнение гиперповерхностей приобретет вид:
/ш (*v) - 0 -> X0 = const, (3.84)
откуда следует, что T^ = O. Такие системы координат будем называть кинеметрическими. Учитывая условие нормировки
дим ковариантные компоненты Tm
Vvfv = T0T0gUO = 1, Haxo-(«калибруем» монаду):