Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, оператор D/dx имеет смысл субстанциальной временной производной в механике сплошных сред. Формулы (3.20),
(3.21) с учетом (3.31) и все последующие, записанные в монад-;ном виде, как правило, имеют привычный (из физики в плоском
пространстве-времени) вид с заменой частной производной по времени оператором дТу а пространственных производных — операторами у^.
Ковариантные производные от произвольных тензоров всегда можно записать в монадном виде, т. е. представить их через спроектированные величины, монадные операторы и физико-геометри-• ческие тензоры. Например, для произвольного вектора Bv имеем:
20 V11By = Vfi (Bxv + Bv) = V-Bv - B [Aviv + JDliv) + TllTv (дтВ - F4) + + Tli [dTBv - B1 (At - Dl) + BFv] - Tv [y^B - Bk (Д - .
3.4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ТЕОРИИ ПОЛЯ В МОНАДНОМ ВИДЕ
Уравнения Эйнштейна и тождества римановой геометрии.
Прежде всего запишем проекции компонент тензора Риччи:
= (dTD - DafiD^) + ЛарЛаР + (^Fk - FxF1) ; (3.32)
- - - Vr № + Dxa) - 2FKAKa ; (3.33)
ад = (дт - D) (A^ - D?a) + (V?fa - FaF?) +
+ 2 (DaD?i + A7HaAfr + AfiDa3) + 3Ra^ (3.34)
где 3Rafi = 3R^aKfr— 3-МЄрНЬІЙ ТЄНЗОр РИЧЧИ; D= —ДхрЛаРв Скалярную кривизну запишем следующим образом:
*R = 2dTD - (D2 + DafrD^) - Д^Л0* + 2 (Fx - FhF^ + 3Ry (3.35)
где 3R = —ha^Ra$. Напомним, что во всех формулах индек-
сы поднимаются и опускаются посредством ^v (или, что равносильно, посредством —Zima7).
Проекции уравнений Эйнштейна находим в виде
[iR^ - (1/2) g^R] TfTV = (1/2) (D2 - DapDap) +
+ (3/2) AaiiAafi - (1/2) sR = KTllivtmtV; (3.36)
- [iRtlv - (1/2) g^R] тWir = v~D - vx (Ar!: + Dl) -
- 2FxAxa = - KT^hva ; (3.37)
IiRllv -:(1/2) ^v iR] hZM = (дт - D) (Afia + Dpa) + ha?drD + + I3Rap + (1/2) ha? 3Rl + 2 (D%Dy? + AlA?y+AjD^+^Fa-FaF?)+ + ha? (V1Fk - FhFx) - (1/2) fta? (D2 + DuvDtiv + AvJT) =
= KT11XM- (3.38)
Из тензора Римана — Кристоффеля 4R0Ptiv всеми возможными способами проектирования можно получить три пространственно-спроектированных тензора:
7х — W^MV4DraD _ ЗгА I оAx л і t'-xye — 11CMyt A ?nv — А.кує T ^n¦ XaiEY
+ (De + Аг) СDy.К + Ayii) - (Dy + Ax) (Dfx + Аш); (3.39)
20 ^xye — — 2FjiAye -)-
+ V? Pv* + Л-*) - Vv (D™ + (3.40)
— X^Y = ~ — (Dyn + Ayyc) —
- {Dl + Al) (Dvo + Ayu) - V7Fx + FyFy. (3.41)
Используя предыдущие формулы, запишем тождества Риччи: дтА^ = (1/2) (v~Fv - V-F11) ; (3.42)
(Vv + Fv) + (V? + Ffi) Av + (? + Fj ^4?v = 0; (3.43)
VQ^ + ZllXvo + ZiwIv — 0. (3.44)
Тождества Бианки в монадном виде выглядят громоздко.
Важнейшие уравнения поля в ОТО. Электромагнитные величины и уравнения.
Векторный потенциал электромагнитного поля A11 представляют в виде All = X11A + Allt где
A = A»**; All = -HlAv. (3.45)
Тензор электромагнитного поля Fixv записывается с помощью этих величин следующим образом:
^v - V дх» дх" ) + [ v дх» 4 дх^ ) + + А (2Avil + FvXll — FnTv).
Из него можно построить пространственно-спроектированный вектор (напряженность электрического поля) и тензор (напряженность магнитного поля):
Fv = — T0^Fctp = дтАх — (v-r — Л,) А; H^ = /i^Fa? = (v^v-VvA) + 2АА^'
(3.46)
причем имеет место соотношение Fviv = Hixv + XllEv — IvEvim
Первую пару уравнений ,Максвелла (1.41) в монадном виде можно выразить так:
дгЯор = (VJT - F*) - (Vr - 7Vj e^ (3.47)
VA + V?- Hya + V- Ha? - 2 (EaA?y + E?Aya + EyAa?). (3.48)
Заметим, что эти уравнения очень похожи на монадные тождества (3.42) и (3.43), если сопоставить величины Аа§ «-* — (1/2)
Fa Fa.
20 Вторую пару уравнений Максвелла (1.42) можно представить в виде *:
Vr7 Ea — HllvAflv = 4я/; (3.49)
(дт -D) Ea+ (уг - Fp) Hai'' = AnT, (3.50)
где использованы обозначения для плотности заряда и вектора тока J = Tli/1"; T = — tiffi.
Тензор энергии-импульса электромагнитного ноля имеет следующие проекции:
TvyXllTv = - (1 /8я) [Е,ЕХ - (1 /2) Hkn Hka]; (3.51)
— TivH^tv = — (1 /4я) HafiE р; (3.52),
FwA^ = - (1/4л) + Яа0//р0 + (1/4) ЛаР (2ЕкЕх + HkaHxo)].
(3.53)
Уравнение Клейна-Фока (1.44а) имеет вид:
(дт -D)g + (v~- F^ р* + (mc?f ? +a*RW = 0, (3.54>
где
Ш = tVF/o*v; P11 = - hvdW/dxv. (3.55)
Важнейшие уравнения мировых линий в монадном виде. Уравнения неизотропных геодезических:
[dTm + уму- m) + D^pW — F ^ = 0; (3.56)
[дТр- + Ум v-pvj + 2(Avtl- Dl) + mFv = 0. (3.57)
Уравнения изотропных геодезических (1.47):
(1/ffl) dT(o + (Т/а) VfCO + DlivTT — Fjix = 0; (3.58)
dTV +Tyfkv + 2 kl (А\ - Dl) + coFv = 0, (3.59)
где (о = AmiTm,— частота изотропного излучения; kv = —k^K^ = (?>dxv/dx=
= о Zv — пространственная часть волнового вектора; Iv = (1/со) kv — направление распространения изотропного излучения.
Уравнения Матиссона — Папапетру (2.39), (2.40) в монадном виде в общем случае довольно громоздки, поэтому запишем их [67], сразу воспользовавшись дополнительным условием Кориналдези — Папапетру
* Запись уравнений Максвелла через векторы Efl и B^ = (1/2) Fa^ см. в [66].
58 5"? - 0, (3.60)
