Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Для действия А, инвариантного относительно (22.76), можно получить
соотношение
°=(Л1' *¦'&) +?(<*'• <22-77>
i
где ф' представляют остальные функционалы струны, которые могут
фигурировать в А. Если полагать, что выполнены все уравнения поля, за
исключением уравнения для ф, то получим
= (22.78)
аналогично находим Т2бЛ/бф = 0. Уравнение для ф должно иметь вид (L0-1)ф
-+- ... =0. Действуя операторами L\ и Ь2, мы видим, что для получения
нуля нам нужно знать величины /,1ф и Ь2ф. Это требование ведет к
появлению двух новых полей ф1 и ф2, чтобы фиксировать L\ф и Ь2ф. При этом
в действии должны быть слагаемые (ф1, Еьф) + (ф2, Е2ф). Следовательно,
поля ф1, ф2 должны появиться и в уравнении для ф:
(Lo_ 1)ф + Д^ЧД/ = 0. (22.79)
Введя эти новые слагаемые, следует теперь фиксировать величины Ь\ф1, L$l
и Ьф2, Ьф2, которые определяются из уравнений движения новых полей t,2i и
^2, %22 соответственно. Выпишем эти полевые уравнения, добавив к ним с
произвольными коэффициентами все возможные слагаемые подходящего уровня.
Например, в уравнение для поля ф2, которое начинается с величины 12ф,
можно добавить член имеющий также уровень 2. Коэффициенты определяются из
требования обращения в нуль результата действия операторов L\ и Ь2 на
б/4/бф. Так
292 ГЛАВА 22
получаются уравнения, приведенные в работе [193]. Они имеют следующий
вид:
поле полевое уравнение
ф (Lo-lH + ^f+ ?-2*2 = 0 ф' L^ = -2f-A.^-A^2,
ф2 M = -4^-L_1S12-L_2S?a-3g'1
?\ A,f = (Z.0 + 1) 5S - 3^а (22.80)
?2, L2^ = (L0 + 2)^2
& Ь,ф2 = (L0 + 2)S21
Й А2</>2 ~ (А0 + 3) ?22
Анализ действия на эти уравнения оператора L\ мы оставляем читателю и
рассмотрим более детально действие оператора А2; получаем
(А" 4~ 1) А2ф 3А^1 + L_iL2^>1 -j- ^4А0 -j- ~2^ ф2 + A_2A2</>2 = 0.
(22.81)
Подставляя вместо А2ф, Ai^1, Аг^1 и Ag^2 правые части из (22.80), находим
(?> - 26) f* = 0. (22.82)
Следовательно, мы обнаружили, что система может существовать только при
критической размерности D = 26.
При заданных уравнениях поля естественно исследовать полную калибровочную
инвариантность. Последняя целиком определяется из преобразования бф = A-
iA1 -j- A-2A2; легко проверить, что полные калибровочные преобразования
имеют вид [193]
2
6Ф=Еа_"Лп, 6фп=-(Ь0 + п~ 1)Л", (22.83)
п=\
fig"т = -АтЛге - (2т 4- п) Ап+т при я, т=1, 2. (22.84)
Приведенные выше уравнения непосредственно следуют из действия
-i- (Ф, (Ао - 1) ф) + Е (Фп, А"ф) + ? (Ьпфт, ?"") +
гг=1 гг, m=1
+ Е"(Г. Л-1 ? (5"т, (Ао + п + т-1)Гп) +
n=l fi, т = 1
+ ? (2n + m)(^"+" S"m)- (22.85)
re, т=1
Полученную систему мы будем называть системой "конечного набора".
КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СТРУНЫ 293
В действительности таким способом можно построить свободные калибровочно-
ковариантные формулировки всех известных струн: открытой и замкнутой
бозонной струны, открытой и замкнутой суперструны и гетеротической
струны. Эти формулировки читатель может найти в работе [193].
22.6. Бесконечный набор
Полученное описание открытой бозонной струны можно изменить так, что оно
будет содержать бесконечный набор дополнительных полей [193, 194].
Преимущество такого описания в том, что все генераторы алгебры Вирасоро
будут играть в нем одинаковую роль. Это достигается введением полей
ф, фп, 1пт, п, т= 1,2,...,оо, (22.86)
а в действии (22.85) индексы суммирования пробегают теперь значения от 1
до оо. Замечательно, что такое действие инвариантно относительно
преобразований (22.83), (22.84), в которых суммирование происходит также
от 1 до оо. Это требует выполнения тождества
П - 1
- 2 (2" - гаг) (п + т) + -рг- п (п2 - 1) - 2п (п - 1) = 0, (22.87)
т= 1 12
которое верно только для D = 26.
Для дальнейшего использования полезно выписать соответствующие этому
набору уравнения движения; они имеют вид
оо
(Z.Q- 1)ф + ? Ь_пфп^0,
п = 1
оо
+ L_nt,nm+ X 6(m + p - п){2р + т)1рт + 2пфп = 0,
р, т = 1
(22.88)
L"r-(^o + ra + /ra-l)Smn = 0.
Конечно, недостаточно только построить калибровочно-инвариантное
действие; нужно также потребовать, чтобы оно приводило к правильному
числу состояний на массовой поверхности (числу степеней свободы). Один из
способов проверить это - воспроизвести связи Вирасоро после подходящего
выбора калибровки. Известно, что конечный и бесконечный наборы приводят к
правильному числу состояний вплоть до десятого и шестого уровней
соответственно [196]. Недавно1) были приведены аргументы, позволяющие
предположить нарушение данного свойства на этих уровнях. Так ли это в
действительности, станет ясно после явного подсчета числа состояний для
этих уровней.
') Y. Meurice, препринты ЦЕРН.
294
ГЛАВА 22
Уже на третьем и шестом уровнях для бесконечного и конечного наборов
соответственно обнаружено существование сложных дополнительных симметрий
[196], которые необходимы для подсчета состояний и для построения теории
с взаимодействием.
Предпочтительнее, конечно, формулировка, в которой все симметрии
описываются явно. Такую формулировку легко построить путем дальнейшего
