Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
БРСТ-формализма обсуждается в работе [187]. В принципе возможно описать
все свойства квантовой теории, работая в некоторой фиксированной
калибровке. Однако без всех тех приемов, которые накоплены во вторичном
квантовании, это может оказаться трудной задачей. В качестве примера
упомянем вычисление аномалий, которые отсутствуют в калибровке светового
конуса, а тщательное исследование лоренц-инвариантности показывает, что
она нарушается, когда в теории имеются калибровочные аномалии. Другой
пример - вся область описываемых вне рамок теории возмущений
квазиклассических явлений и спонтанного нарушения симметрии, которая до
сих пор развивалась в калибровочно-инвариантной формулировке. Возможно
также, что свойства конечности теории струн проявляются особенно четко в
ковариантной формулировке, как это было в случае суперсимметричных
теорий.
Другое преимущество вторично квантованной теории струн состоит в том, что
она поможет нам понять, что представляет
Ij Щ ехр (y-S),
(22.31)
где действие 5 имеет вид
5= ^(0)]) + фиксация калибровки+ духи+
источники.
(22.32)
КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СТРУНЫ
собой струна. Одно из замечательных достижений современной физики состоит
в том, что отвечающие природе теории определяются почти однозначно своими
симметриями. Например, теория с векторным потенциалом и локальной
калибровочной инвариантностью, действие которой содержит производные не
выше второго порядка, может быть основана только на функционале действия
Янга - Миллса. Аналогично эйнштейновское действие определяется
общекоординатными преобразованиями на пространстве с метрикой, а
супергравитация определяется локальной суперсимметрией. Теории струн
единственны с точностью до того, открыты струны или замкнуты, бозонные
они или суперсимметричные. Они также обладают упомянутой выше локальной
симметрией. Естественно предположить, что теория струны полностью
определяется некоторой симметрией. Знание этой симметрии способствовало
бы как объяснению многих удивительных сокращений, обнаруженных в теории
струн, так и открытию многих других свойств. Ясно, что наличие
инвариантного действия для набора преобразующихся полей, алгебра которых
известна, значительно облегчит поиск лежащего в основе этой симметрии
принципа и, следовательно, построение собственно теории струны.
22.3. Осцилляторный формализм
Чтобы проанализировать условия (22.28), удобно выразить участвующие в них
величины через операторы рождения и уничтожения. Разложим л^(ст) в ряд
Фурье
хА (сг) = Ё х*ё
ina
(22.33)
где х"о = х^, а xv_n = (xvn)* = х^п в силу вещественности х& (о) и
определения (22.19). Вид разложения xv(a) таков, что выполняются
граничные условия открытой струны
дх^
да
дх"
<J=0
до
= о.
Согласно правилу дифференцирования, имеем
бх1* (ст) Определим
- I
дхпх
дх^ (ст) dxnv
= - I
2я ^
¦yitio ,
дХгУ
(-D
[i t по
(22.34)
(22.35)
(90
284 ГЛАВА 22
Используя (22.33), находим для ап^ выражение
"S-' (Ш'В ^7 + " <2а'>'"2 л)- <2М7>
Из вещественности ^ (а) следует аЧ = аЧ Перестановочные соотношения
операторов aJJ имеют вид
[a/> amv] = °> К> ат]=яб", m4av> ", /п> 1. (22.38) Операторы Вирасоро Ln
можно выразить через а":
-f оо
Л ¦ , (22.39)
m = - со
где для L0 используется нормально упорядоченное выражение. Эти операторы
удовлетворяют модифицированной по сравнению с (22.22) алгебре
9R
[Ln, Lm] = {n-m)Ln + m + ^n{n2- l)6",_m. (22.40)
Дополнительное слагаемое справа возникает как следствие нормального
упорядочения и называется центральным, а стоящий при п(п2-1) коэффициент
называется центральным зарядом. Его значение легче всего найти,
рассматривая вакуумное среднее этих соотношений. В частности, имеем
оо
^0 = Y a0a0, ц + Z (22-41)
т = 1
оо
L, = Ч, = аоа,, , + I, atfam+u (22.42)
т = 1
где
а0 Ч 2 ) дх"
Состояние струны в пространстве чисел заполнения можно описать через
операторы рождения а^+:
ф [х* (а)] = {ф (х) + г + 4vail+ai'+ + Alia2f + • • •} (°) I °)>
(22.43)
где вакуумное состояние удовлетворяет уравнению
ай(^(о)Ю> = 0, п> 1. (22.44)
КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ формулировка СТРУНЫ 285
Вакуум задается выражением
оо
(хР (о) I 0> = П cnexp(-^^[i). (22.45)
П= 1
Действие операторов а?+ на (л:^(о)|0) порождает хорошо известный полный
набор полиномов Эрмита. Следствием условий (22.28) являются уравнения для
компонентных полей
(d2 + -^)^M==0=-|>--(/- I)4-]^ = (32"4')/ii*v и т-д"
(22.46)
а также
д"А1 = 0 = Уазмц + hi = + A2V. (22.47)
Доказанная в работе [187] теорема замечательна в том отношении, что хотя
наличие операторов а°+ могло бы привести к набору духовых состояний, но
условия (22.28) обеспечивают положительную определенность норм физических
состояний.
22.4. Калибровочно-ковариантная теория на нижних уровнях
Теперь мы найдем действие в терминах поля ф, которое не дополняется
связями (22.28), но обладает калибровочной инвариантностью, позволяющей
получать упомянутые связи как выбор калибровки при уравнениях движения.
