Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Необходимо еще написать локальные преобразования суперсимметрии полей,
которые были выведены в процессе вычислений в рамках нётеровской
процедуры. Поучительно, однако, получить их, применяя нётеровскую
процедуру к алгебре преобразований. Мы начнем с алгебры глобальной
суперсимметрии, а затем сделаем параметр суперсимметрии локальным, т. е.
е->-е(|). Алгебра теперь не замкнута; например, для коммутатора
преобразований, действующих на поле %а, найдем
[Si. 6г] X = {Y^e2(r)i (<Зрх) + Ё! д%е2 + уре2 (<5p8r) %} - (1 2).
(21.56)
Используя в первых двух слагаемых преобразование Фирца, получим
трансляцию. Последнее слагаемое содержит производную параметра ej и при
замыкании алгебры образует члены, не имеющие вида преобразования
симметрии. Мы уничтожаем это слагаемое, заменяя даА в выражении для 8%
суперковариантной производной
даА -> DaA = даА - у )j:ax; (21.57)
таким образом, имеем
6x = (Yp^A + lV)e. (21.58)
Рассматривая действие преобразований на поле N, мы также найдем члены,
пропорциональные дре; при этом мы поступаем аналогично предыдущему
случаю. Положим
Ш = еу*5^, (21-59)
где
^% = 0&%-^фА + Ю%, (21.60)
°& = {дь-\^аЬчаЬ) X-
Здесь в ковариантную производную мы включили соответствующую спиновую
связность, необходимую для замыкания алгебры в высшем порядке по х.
Введение ковариантных производных способствует замыканию алгебры с
точностью до членов порядка х°. Например, для коммутатора
преобразований,
274
ГЛАВА 21
действующих на поле А, найдем
[б,, 62] А = 2ё2уРе,ЗрА = 2е2уре, д^А - [2е2уре, уфр) X- (21.61)
Здесь первое слагаемое - общекоординатное преобразование, второе -
зависящее от поля преобразование суперсимметрии. В действительности
читатель может проверить, что алгебра замкнута во всех порядках и в
дальнейшем дополнительные слагаемые к вариациям полей (которые иногда
необходимы) не нужны. Окончательные результаты имеют вид
6Л = ех, бх==(5Л + N)e, б Ы = гЪ%, (21.62)
6еаа = иёуафа, 6г|1а = - Dae. (21.63)
Специфика двух измерений проявляется в соотношении
-j = - у(r)ау5, (21.64)
где соа = -1/2еоЬсоааь- Как обычно, спиновая связность включает
слагаемые, содержащие гравитино, которые приводят к тому, что
преобразование не содержит членов, пропорциональных де; таким образом,
эта сумма обычных слагаемых, куда входят реперы, соааЬ(н) и гравитино:
<"а = (r)а (е) + \ 'ФаУбУЧв- (21.65)
Теперь нетрудно написать функционал действия для теории суперструны. Он
определен на мировой поверхности струны, координаты которой |"=(т, а).
Суперструна описывается полями x>*(g) и х*М?), где р = О, ..., 9. Индексы
р соответствуют пространству-времени и появляются как "внутренние
индексы" полей, заданных на мировой поверхности, не усложняя
представленный выше анализ. Действие имеет вид
~ 2^5" 5 d^e { " Т е°а дах^а <Vv - Y %^Уаеаа da%v +
+ -J Фа §Xl*yaXv + 'фаУРУСЧр)С,У } Лцу- (21.66)
Оно инвариантно относительно двумерных общекоординатных преобразований,
преобразований Q- и S-суперсимметрий, вейлевского и локального лоренцева
преобразований. Эти преобразования снабжены соответствующими индексами р,
v (т. е. 6х^ = ex1*, ...). Действие инвариантно также относительно
преобразований десятимерной группы Пуанкаре. Именно в этой модели в свое
время была независимо открыта суперсимметрия.
ДВУМЕРНЫЕ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ 275
Такая модель ведет к формулировке Рамона - Неве - Шварца (см. [7]).
Как и раньше, мы можем выбрать калибровку, в которой еаа = $аа и фал = 0;
получаем свободную теорию, подчиненную приведенным выше связям.
Сравнительно недавно была выдвинута новая струнная теория, называемая
гетеротической струной (см. [180]). Она описывается полями х^(?) (р = 0,
..., 9), х' (?) (/=1, ..., 16) и /V Здесь х^л - вейлеровский спинор (^ =
Vs/1*); следовательно, он должен быть правосторонним, а переменная х' -
левосторонняя. Указанные поля соответствуют остаткам 26-мерной теории, из
которой была получена гетеротическая струна. Переменная х^ содержит как
левосторонние, так и правосторонние состояния. Действие струны имеет вид
st-= st-iгде
^i = -wS d4e { ~ IF е"а д*х^а Vv -
- у У?Ч-е+а da%v + у % dx"yaxv } Лцу" (21.67)
a s4-2 - действие, отвечающее полю х1, которое либо имеет вид
= - ууг ^ d2le {е+" дах'еР д^х1 + X е+а дах'е& д^х1}, (21.68)
либо может быть представлено выражением, которое включает 32 фермионные
степени свободы (см. [180]). В силу свойства вейлевского спинора % имеем
XX = XY5X= - XX =0- (21.69)
Можно использовать не двухкомпонентные спиноры, а лишь ненулевую верхнюю
компоненту. Эта теория инвариантна относительно преобразований вейлевской
суперсимметрии, а поля х1 неизменны, т. е. являются синглетами.
Левосторонние поля х^- синглеты, но правосторонние поля х^ и х^л образуют
супермультиплет типа (21.25).
Мультиплет супергравитации соответствует вейлевской суперсимметрии, т. е.
суперсимметрии с киральным параметром е (у5е = -е или у_е = 0). Положим,
что киральность поля фа противоположна киральности поля х^ (т- е- Тэфа -
