Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
должны определять представление четной (бозонной) подалгебры группы
суперсимметрии. Это простое следствие требования, чтобы алгебра была 22-
градуированной. Коммутатор любого четного генератора В\ и генератора Qa'
имеет вид
ЮЛ JB1] = (A1)a/pQp/. (2.13)
Из обобщенного тождества Якоби
[ЮЛ 5,], Я2] + р" В2], Qa'] + [[fi2, Qa'], 5,] = 0 (2.14)
следует, что
[h\, = \[Qj, [Ви В2]} (2.15)
или, другими словами, что матрицы h определяют представление алгебры Ли
четных генераторов.
Вышеприведенные рассуждения означают, что
[Qa?, Тг\ = (АЛ Qa' + (*,)/ (гуз)/ Q"', (2.16)
где слагаемые (С)'/ + iys(С)'/ задают представление алгебры Ли группы
внутренней симметрии. Это следует из того факта, что бр" и (уб)ар -
единственные инвариантные тензоры, являющиеся скаляром и псевдоскаляром.
Остается коммутатор [Qa', Ра\ четного и нечетного генераторов. Обобщенные
тождества"Якоби, включающие группу внутренней симметрии и группу Лоренца,
допускают следующее соотношение:
[Qa1, Ра\ = с(Уа)а^. (2.17)
Но тождество [ [Qa', Ра], Рь\-\- ¦¦¦ требует, чтобы постоянная с была
равна нулю, т. е.
[Qa*" Ра] == 0- (2.18)
АЛГЕБРА СУПЕРСПММЕТРИИ
21
В более общем случае можно рассмотреть слагаемые (суа + -\~dyay5)Q в
правой части (2.17), но тогда приведенное выше тождество Якоби и
майорановское условие дают с = d = 0 (см. замечание 2 в конце главы).
Рассмотрим, наконец, антикоммутатор {Qa1, Qpy}. Он должен быть составлен
из четных генераторов и должен быть симметричен относительно замен а •*-
*- р и iЧетные генераторы - генераторы группы Пуанкаре, группы внутренней
симметрии, а также генераторы, которые, согласно теореме Коулмена -
Мандулы, коммутируют с элементами группы Пуанкаре, т. е. являются
скалярами и псевдоскалярами. Следовательно, наиболее общая форма
антикоммутатора имеет вид
{Qj, QpO = г (уаС)чРа6{! + s (cra6C)af5 Jabbli + C^Uli + (Y5СЦК".
(2.19)
Мы не включили слагаемое (уьу5С)а$Ьр', поскольку тождество Якоби,
связывающее генераторы Q, Q и 7a6, ((Q, Q, ]аъ)), означает, что Lb'i
смешивается с элементами группы Пуанкаре нетривиальным образом и,
следовательно, упомянутое слагаемое должно быть исключено в силу теоремы
"no-go".
Тот факт, что мы использовали только инвариантные относительно группы
Пуанкаре тензоры, является следствием обобщенных тождеств Якоби двух
нечетных и одного четного генераторов.
Четные генераторы U'! = -и Vl> = -V>' называют центральными зарядами [5];
их часто обозначают буквой Z. Вследствие обобщенных тождеств Якоби (Q, Q,
Q) и (Q, Q, Z) они коммутируют со всеми генераторами, включая самих себя,
т. е.
[Uli, любой генератор] = 0 = [Vli, любой генератор]. (2.20)
Заметим, что теорема Коулмена - Мандулы допускает полупро-стую группу с
дополнительными группами V(1). Роль центральных зарядов в
суперсимметричных теориях станет ясна в последующих разделах.
В общем случае мы должны записать правую часть (2.19) в виде
(уаС)а^о)'>Ра + ..., где со'7- произвольная действительная симметричная
матрица. Однако можно показать, что матрицу со'7 невозможно привести к
виду со7 = гб'7 никакими переопределениями суперзарядов (вращениями и
умножениями на размерные множители), не нарушающими майорановское условие
(см. замечание 3 в конце этой главы). Тождество [Ра, {Qa1, Qp/}] + ••• =0
ведет к равенству s = 0, поэтому Ра можно нормировать, полагая г = 2 и
получая в итоге
{Qa > QpO = 2 (yaCU ЬЧРа + С^и11 + (у5С)"3Кг/. (2.21)
22
ГЛАВА 2
В любом случае множители г и s имеют разные размерности, и, чтобы считать
их ненулевыми, потребовалось бы введение размерного параметра.
Если бы мы выбрали другое неприводимое лоренцево представление для Qal,
отличное от (/+1/2,/)(c)(/,/+1/2), то не могли бы получить Ра, т. е.
представление (1/2, 1/2), в правой части (2.21). Простейшая возможность -
представление (О, 1/2) (c)(1/2, 0). В действительности это единственный
возможный выбор (см. замечание 4).
Наконец, необходимо рассмотреть связи, налагаемые на группу внутренней
симметрии обобщенным тождеством Якоби. Рассмотрение осложняется выбранной
формой записи майора-новского условия (2.12). Двухкомпонентный вариант
этой связи имеет вид
QAt =-- (QaT; А, А =1,2 (2.22)
(см. приложение А по поводу двухкомпонентных обозначений). Уравнения
(2.19) и (2.16) принимают вид
{Qa'> Ы = -^(оа)А-вЬ%Ра,
{Qa, QB/} = e4B(C/^ + tyi0, (2.23)
{Qa\ Jab\ - + ^{°ab)ABQB
[Qa\ 7V] = (/r + i/r)',.Q/ (2.24)
Переходя от (2.24) к комплексно-сопряженному уравнению и используя
майорановское условие, получаем
[Oi,. Т,\~0л{и;т" (2.25)
где (Ur)1! =(lr + Из тождества Якоби -(Q, Q, Т) следует,
что 6'/ - тензор, инвариантный относительно группы G, т. е.
Ur + U а = 0. (2.26)
Следовательно, матрицы Ur. антиэрмитовы, т. е. представляют собой
генераторы унитарной группы U (N). Но, принимая во внимание члены с
центральными зарядами в тождестве Якоби (Q, Q, Г), найдем, что каждому
центральному заряду можно сопоставить инвариантный тензор группы
внутренней симметрии, и, следовательно, возможная группа внутренней
