Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
CxT = C(-/xV)T = X, (21.17)
откуда следует
а = а, Ъ = - Ь*. (21.18)
Мы могли бы потребовать, чтобы эта связь выполнялась для генераторов
рассмотренной выше алгебры суперсимметрии, и, таким образом, получить
майорановский суперзаряд и соответствующий майорановский параметр.
Неприводимый мультиплет этой алгебры включает (Л, %, N), где А и N -
действительные поля, а % - майорановской спинор. Законы преобразования
вне массовой поверхности легко вывести из формул (21.14); в результате
получим
6Л = е%, 6% = (<9Л + М)е, б N = ёд%. (21Л 9)
б. Имеется другой вариант: мы можем потребовать выполнения вейлевского
условия
X = YsX- (21.20)
Это означает, что % имеет вид
*-("). (21.21)
После наложения связи на суперзаряд QA его единственную ненулевую верхнюю
компоненту обозначим Q. Соответствующий параметр суперсимметрии должен
иметь компоненту с противоположной киральностью, чтобы выражение eQ не
обращалось в нуль, и его как низшую компоненту мы обозначим е.
Соотношения вейлевской алгебры суперсимметрии, получаемые в результате
выполнения указанных связей в соотношениях (21.7), имеют вид
{Q, Q*} = iP~, {Q,Q} = 0, [Q, Ра] = 0. (21.22)
Определив величины R± = Ro + Ri, получим равенства
RaPa = ^(R+P- + R-P+), (21.23)
причем
Y+Y- + Y-Y+ = 4, Y+2=Y-2 = °- (21.24)
268
ГЛАВА 21
Преобразования вейлевской суперсимметрии супермультиплета (А, х, N) имеют
следующий вид:
6Л -е*%, б x = id_A&, 67V = 0; (21.25)
следовательно, неприводимый мультиплет содержит поля (А,%)• Заметим, что
в отличие от случая четырех измерений оператор, входящий в правую часть
соотношения {Q, Q*}, т. е. iP-, вообще говоря, не является обратимым.
Поэтому мы не можем требовать, чтобы мультиплет имел равное число
фермионных и бозонных степеней свободы. Легко найти пример: рассмотрим
поле ф, удовлетворяющее условию д-ф = 0 и являющееся первой компонентой
приведенного выше супермультиплета. При преобразованиях суперсимметрии
спинорная компонента мультиплета остается неизменной, и, следовательно,
ее можно положить равной нулю. Поэтому поле ф неизменно при
преобразованиях суперсимметрии и само образует мультиплет; такие
мультиплеты мы будем называть синглетами. Очевидно, можно потребовать
выполнения вейлевского условия в любом пространстве с четным числом
измерений.
в. Еще один вариант состоит в одновременном выполнении вейлевского и
майорановского условий. В этом случае спинор имеет только верхнюю
действительную компоненту. Спинор, являющийся одновременно майорановским
и вейлевским, может существовать только в том случае, когда размерность
пространства-времени равна 8п + 2, где п - целое. Это утверждение
касается лишь пространств с единственным временем; для пространств с
разными сигнатурами метрического тензора такие спиноры существуют в
различных размерностях.
Предположим, что имеется вейлевский спинор (т. е. % = = 75%); тогда мы
можем переписать вейлевское условие в виде у+Х = 0. Если спинор
удовлетворяет уравнению Дирака <9% = О, то найдем
Y_d+X = °. (21.26)
откуда следует
д+х - 0. (21.27)
Поэтому x = f(x - 0> и> таким образом, решение описывает волну,
двигающуюся вправо. В двух измерениях частица должна двигаться либо
влево, либо вправо, и направление движения является лоренцевым
инвариантом. Если поле х принадлежит
супермультиплету, то мы можем сделать вывод, что поле А
также распространяется вправо (т. е. 5+Л=0). На более привычном языке это
утверждение эквивалентно уравнению
даА = еаР дрЛ.
(21.28)
ДВУМЕРНЫЕ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ
269
Действие, отвечающее спинорам, можно записать в виде
- -j\d%xd_x. (21.29)
Но вследствие приведенного выше уравнения действие, отвечающее скалярам,
тождественно обращается в нуль. Это достаточно общая проблема, касающаяся
любой напряженности поля нечетного ранга, т. е. самодуальной. Общее
решение проблемы не известно, но в двух измерениях было предложено (см.
работу [177]) рассматривать действие с лагранжевым множителем X-, я
именно
$</2&(<5+Л<5_Л + уА,__<5+Л<М). (21.30)
21.2. Связь материи с супергравитацией в двумерном пространстве-времени
Построим теперь взаимодействие суперсимметричной майо-рановской теории
(21.19) с супергравитацией. Физическое обоснование такого построения
состоит в том, что указанная теория составляет основу теории суперструн,
которая должна быть инвариантной относительно общекоординатных
преобразований и лреобразований локальной суперсимметрии, поскольку эти
симметрии будут соответствовать симметриям мировой поверхности струны.
Прежде чем строить теорию, рассмотрим кратко суперчастицу, которая
описывается полями
(*"(*), Х"(т)) (|х = 0, ..., D-1), (21.31)
где у}*--грассманова переменная. Свободное действие имеет вид
yJ dx{^j>v - xVbuv, (21.32)
где ф& = дф^/дх. Оно инвариантно относительно преобразований
суперсимметрии
б^ = е/, б/ = ф\ (21.33)
а также относительно глобальных трансляций по координате т.
Построим теперь взаимодействие полей, составляющих свободное действие, с