Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
первоначально положительная хигг-совская масса может изменить знак при
некотором более низком значении энергии, так что радиационные эффекты
нарушают SU(2)X ?/(1)-симметрию [153].
Здесь приведено эвристическое изложение довольно сложной проблемы
реалистических моделей; более полную информацию на эту тему читатель
может найти в работах [154].
20. ТОКИ В СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ
20.1. Общее рассмотрение
Возникновение и развитие алгебры токов в суперсимметричных теориях
началось со статьи Феррары и Зумино [159], которые вычислили суперток,
тензор энергии-импульса и киральный ток в модели Весса - Зумино. Они
нашли, что эти токи принадлежат одному супермультиплету. В этой главе мы
хотим рассмотреть возможные структуры (т. е. супермультиплеты), в которые
входят мультиплеты токов суперсимметричных теорий. Мы начнем с
исследования токов в суперконформных теориях, а затем выясним, каким
образом возникают суперконформные аномалии различных токов.
Такой подход целесообразен, поскольку суперконформные токи просты, и, как
увидим, строение их мультиплета фактически однозначно. Хотя структура
токов в пуанкаре-суперсиммет-ричных теориях не однозначна, она может быть
найдена во всех известных случаях путем добавления к суперконформным
токам соответствующих мультиплетов суперконформных аномалий.
Возможные структуры мультиплета токов мы можем получить, не обращаясь к
частной модели, а потребовав, чтобы токи и их преобразования приводили к
правильной алгебре, а именно к алгебре суперсимметрии. Приведенное ниже
обсуждение токов сходно с рассмотрением, приведенным в работе [160].
Любой непрерывной симметрии действия соответствует сохраняющийся ток /д\
который в свою очередь порождает сохраняющийся заряд
Qk=\cPxj 0\ (20.1)
Если преобразования симметрии образуют замкнутую алгебру, то справедливо
соотношение
\Qk;Ql]=:fklmQm. (20.2)
Вариация тока при преобразовании симметрии может быть записана в виде
6/V = [Qft. /Д (20.3)
Но, положив (i = 0 и интегрируя, мы находим 5 cPxbk1 = 5 (fix [Qft, jo1}
= [Q\ Qz] = fktmQm = 5 cfixfklmjom. (20.4)
ТОКИ В СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЯХ
247
Очевидно, что эти уравнения накладывают ограничения на вариацию 6/У-
В случае группы внутренней симметрии мы имеем по одному току для каждого
генератора, а так как преобразования токов не содержат пространственно-
временных производных, то знак интеграла можно опустить, и единственное
решение уравнения имеет вид
в/ц1 = /И'ЧЛ (20.5)
Следовательно, токи принадлежат присоединенному представлению группы
внутренней симметрии.
Для иллюстрации более сложных аспектов теории, которые могут иметь место
для пространственно-временных групп, рассмотрим группу Пуанкаре с
генераторами Рд и /ри. Ток, отвечающий генератору Рд, представляет собой
симметричный тензор энергии-импульса 0UV. Преобразование 0^v при
трансляциях имеет вид 60^v = <5p0^v Используя это соотношение, находим
[Рц. Pv] = 5 [рд> 0Ov] = 5 d3xdlfiov =
= 5 d3xd0%v = - 5 <Рхд&\ = о. (20.6)
По отношению к лоренцевым вращениям J^ тензор энергии-импульса второго
ранга, т. е. он преобразуется следующим образом:
' М* х*@р) 0UV [~Ь (Tlpv0nx ^nv^np) "t" (М. * > 'v)]-
(20.7)
Эта вариация позволяет вывести соотношение
[рд. х] = ЛЦРрх - ЛцхрР- (20.8)
Рассмотрим ток, отвечающий генератору /ри. В действительности это момент
тензора 0UV, а именно
Ppixv М?0Рд Ч- *V0Pv (20.9)
Момент сохраняется в силу свойства симметрии 0^v. Из вариации 0^v при
лоренцевых вращениях мы можем вывести окончательное коммутационное
соотношение для генераторов группы Пуанкаре:
= (ОдрЛы + • • •)• (20.10)
Рассмотрим теперь случай, когда тензор 0^v не только симметричен, но и
имеет нулевой след 0,^ = 0. Теперь мы имеем новые сохраняющиеся токи dn =
x?Qvll и Kpy = 2xvx%Q\[l- x20^v. Эти токи приводят к новым зарядам D и
/Сд. Используя вариации 0HV, можно вычислить коммутаторы новых
генераторов D, Кр.
248
ГЛАВА 20
с генераторами Рр, JPK. Заметим, что = 0 - единственное алгебраическое
условие, которое мы наложили на 0^.
Например, находим
[D, Pv] = ^ d3x [хЧо, -Pv] = + ^ d3xxKdvQK0 = - ^ d3xOv0 = - Pv,
(20.11)
а для других коммутаторов имеем
\D, /рд] 0, [*д, /рц] = Т)др^И ЛдИ^р !
[Кд, Pv] = - 2т!д^ + 2V ( • '
Остается найти коммутаторы [D, Z(v] и [Рд, /Cv] • Используя лоренц-
инвариантность, а также тождество Якоби для искомых коммутаторов с
генераторами 7UV, заключаем
[D, Kv] = + bPv, [Кд, /Cv] = с/дГ, (20.13)
где а, b и с - постоянные.
Используя тождество Якоби для (D,K,P), находим, что а = +1, а из
тождества Якоби для (D,J,K) получаем 6 = 0, с = 0; в результате имеем
[A/Cv]=/Cv, [Кд, /Cv] = 0. (20.14)
Следовательно, мы получаем группу с генераторами Pv, JPK, D и Кц,
которая, конечно, является конформной. Таким образом, теория с 6д^ = 0
удовлетворяет конформной симметрии.
Можно рассуждать и в обратном порядке. Исходя из конформной группы с
генераторами Рд, 7UV, D и Кр и их коммутационными соотношениями, можно
задать вопрос: какого вида токи образуют такую алгебру? Нетрудно
