Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
[•fab, fed] " (jlatJbd "Ь ЦЬ:1^ас Цаи^Ьс Цьс^ал)
(2.1)
(2.2)
[Рв> 7\,] = 0 - [Jab, Ts}.
(2.3)
18
ГЛАВА 2
Существо теоремы состоит в том, что если мы используем группу Ли, которая
содержит группу внутренней симметрии, смешанную нетривиальным образом с
группой Пуанкаре, то 5-матрица для всех процессов должна быть тривиальна.
Кроме всего прочего в формулировке теоремы предполагается, что 5-матрица
существует и нетривиальна, вакуум не вырожден и нет безмассовых частиц.
Важно понимать, что теорема применима лишь к преобразованиям симметрии,
действующим на элементы 5-матрицы, а не ко всевозможным преобразованиям
симметрии, существующим в квантовой теории поля. В самом деле, нетрудно
найти примеры симметрий последнего типа. Разумеется, теоремы "no-go"
справедливы лишь в той мере, в какой верны предположения, используемые
для их доказательства.
В важной работе Гольфанда и Лихтмана [1] показано, что-если обобщить
понятие группы Ли, то можно действительно найти группу симметрии,
включающую нетривиальным образом группу Пуанкаре и группу внутренней
симметрии. В этой главе мы обсудим такой подход к суперсимметрии. Приняв
более общее определение группы, мы придем с помощью теоремы Коулмена-
Мандулы и некоторых дополнительных предположений к известному понятию
группы суперсимметрии.
Поскольку структура группы Ли, по крайней мере в окрестности единичного
элемента, полностью определяется ее алгеброй Ли, необходимо
сформулировать более общее понятие, чем алгебра Ли. Важный шаг на пути к
открытию алгебры суперсимметрии- введение генераторов Qa',
удовлетворяющих анти-коммутационным соотношениям1), т. е.
{Qj, Qf/} = QaQg! + QfiQa = некоторому другому генератору.
(2.4)
Значение индексов i и а вскоре выяснится. Предположим, что группа
симметрии содержит генераторы Ра, Jab, Ts и, возможно, некоторые другие
генераторы, удовлетворяющие коммутанион-
*) В силу антнкоммутацнонных свойств нечетных генераторов QД, для того
чтобы нз ннх получать четные объекты, которые прн экспоненциирова-ннн
дают элементы группы, генераторы Qa' следует умножать на нечетные
антнкоммутнрующие элементы алгебры Грассмана A(ei ... е t ...)
(ассоциативная алгебра с единицей). Последняя порождается конечным или
бесконечным числом образующих ei ... ег ... со свойствами [52, 202*] 6(8/
+ е/6/ = 0, в частности, г? = 0. В грассмановой алгебре Л фиксирована
четность. Алгебра Грассмана, как линейное пространство, разлагается в
прямую сумму Л = Л0 (r) Ai, где Л0 - подалгебра четных элементов (порождена
единицей н мономами четных степенен по образующим е.), а Л] -
подпространство нечетных элементов (порождено мономами нечетных степеней
по е,); тем самым в Л задана 22-градунровка. - Прим. ред.
АЛГЕБРА СУПЕРСИММЕТРИИ
19
иым соотношениям, а также генераторы Qa' (г = 1,2, JV). Будем называть
первые из них, удовлетворяющие соотношениям (2.1), (2.2) и (2.3),
четными, а генераторы, удовлетворяющие соотношению (2.4), - нечетными.
Позволив джинну показаться из бутылки, мы быстро закрываем пробку; иными
словами, мы требуем, чтобы алгебра имела 22-градунровку. Это просто
означает, что четные и нечетные генераторы должны подчиняться следующим
правилам:
[четный, четный] = четный,
{нечетный, нечетный} = четный, (2.5)
[четный, нечетный] = нечетный.
Должны выполняться также соотношения
[Ра, Ts] = 0^[Jab, ТА, (2.6)
поскольку четная (бозонная) подгруппа должна удовлетворять теореме
Коулмена-Мандулы.
Рассмотрим теперь коммутатор величин Jab и Qa'. Вследствие соотношений
(2.5) он должен иметь вид
[Qa, Jab] = ФаАа\(2-7)
так как по определению QA- единственные нечетные генераторы. Здесь индекс
а соответствует поворотам, осуществляемым оператором Jab- По аналогии с
алгеброй Ли введем обобщенные тождества Якоби. Обозначив четные
генераторы буквой В, а нечетные - буквой F, найдем
Г [[sb В2], В3] + [[В3, ВА, В2] + [[ВЪ В3], ВА = о,
[[Д, в2], f3} + [[К3, BA, ВА + [[Я2, FA, ва = О,
{[fil, fa, F3} + {[Bu FA, Я2} + [{Я2, FA, ВА = 0, (
[{^1, fa, FA + [{F 1, FA, FA + [{F2, FA, FA = o.
Читатель может проверить справедливость этих соотношений. Используя
тождество Якоби
[Uab, JoA, Qa^l + [[Qa^ Jab], Jad] + [Uad, Qal *ab] = 0 (2.9)
и уравнение (2.7), получим
ФаЬ, bcdAa == Л ас ФьАа Лбй Фас)а "Ь Лай ФьАа ~Ь Л Ьс ФаАа ¦
(2.10)
Это значит, что матрица величин (bcd)a13 образует представление алгебры
Лоренца или, другими словами, что на генераторах QA задано представление
группы Лоренца. Мы выберем гене-
20
ГЛАВА 2
раторы Qa', которые принадлежат представлению (0, 1/2)0 0(1/2, 0) группы
Лоренца, т. е.
ЮЛ /в"]=уЫ"Ч'- (2.11)
Пусть Qa' - майорановский спинор:
Яа1 = Са(^1, (2 л 2)
где Сар = -Сра - матрица зарядового сопряжения (см. приложение А). Это не
приводит к потере общности, так как, если алгебра допускает комплексное
сопряжение как инволюцию, мы можем преобразовать суперзаряды так, чтобы
удовлетворить (2.12) (см. замечание 1 в конце главы).
Приведенные вычисления отражают более общее утверждение: генераторы Qa'