Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
приведенные выше соображения и условие
однопетлевой конечности, которое представлено ниже в виде диаграмм на
рис. 18.6, найдем индуцированную расходимость,
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ
229
имеющую вид
С (R) J d4xd4QXa0Xaa [(- Ux - U3a) - (- U2a) - (U2a)-(U2a) + (0)] =
= - С (R) 5 d4xd4QXaaXaa {и, + и2а + и3а}. (18.36)
Заметим, что последний граф с векторной петлей обращается в нуль,
поскольку не содержит четырех множителей D. Следо-
X
\<Р}
Рис. 18.6.
вательно, графы с внешними линиями XX не имеют расходимостей в
однопетлевом приближении, если выполнено условие
t/, + t/2a + t/3a = 0, \/а. (18.37)
Графы с внешними линиями ГУ также не содержат расходимостей вследствие
симметрии X ч-v У, U2aU3a. На самом деле однопетлевые расходимости
отсутствуют и для графов с внешними линиями фф, когда выполнены условие
(18.37) и условия конечности для теорий с N = 2 (они приведены ниже).
Мы можем подвести итог всему сказанному, утверждая, что добавка А2+ В2
сохраняет конечность на однопетлевом уровне тогда и только тогда, когда
справедливы преобразования
(12.17). Непосредственно обобщая это обсуждение, можно показать, что
слагаемое А2 + В2 сохраняет конечность во всех порядках теории
возмущений, если выполнено условие (18.37). Доказательство читатель
найдет в работе [128].
Для теорий Янга - Миллса с N = 4 имеем только один тип полей материи с N
- 2 в присоединенном представлении. Условие конечности принимает вид U\ -
)- Д2 + Дз = 0, что эквивалентно равенству
STrm2= Е т2(- l)2/+i = 0.
/
Но в теориях с N = 2 в общем случае STrm2 не равно нулю.
Добавление всех возможных слагаемых, мягко нарушающих суперсимметрию, и
вызываемые ими однопетлевые расходимости, включая расходимости,
обусловленные смешанными вставками, рассмотрены в работе [107]. Ниже
приведено схематиче-
230
ГЛАВА 18
ское описание этого анализа. Однопетлевые расходимости представлены в
табл. 18.2, где использованы следующие обозначения: А, В, % - физические
компонентные поля каких-либо киральных полей Ха0, Yacj, ф, а X- спинор в
мультиплете Янга -
Таблица 18.2
Вставка Порождаемые расходимости
А2 -В2 а2 + в2 %% кк А (А2 + в2) А3 -ЗАВ2
А2 -В2
А2 + В2 V
XX V V V
XX V V V
А (А2 + В2) V V V
А3 - ЗАВ2 V V V
Миллса. Галочками отмечено появление расходимостей. Рассмотрим добавление
вставки это порождает расходимость А(А2-\-В2). Единственный способ
устранить расходимость - добавить подходящее мягкое слагаемое Л (Л2-)-В2)
и выбрать коэффициент перед ним так, чтобы бесконечности взаимно
уничтожились. Если это сделано, то мы обнаружим, что расходимости вида Л2
- В2 автоматически сокращаются. Остающиеся расходимости А2В2 не
сокращаются, но их можно уничтожить добавлением подходящего мягкого
слагаемого Л2 + В2. Результирующий набор мягких вставок, не порождающий
расходимостей, имеет вид
т2 (А2 + В2) + т%% + тА (Л2 + В2).
Проверка коэффициентов показывает, что это не что иное, как (N = 1)-
суперсимметричный массовый член, который может быть записан в виде
т ^ с12ЫАх Тг ф2 + эрмит. сопр. (18.38)
для поля ф и аналогично для полей Ха и Ya.
Альтернативный набор мягких вставок, также не приводящий к появлению
расходимостей, получают при добавлении массового слагаемого к калибрино1)
XX. Возникающая расходи-
'*) Автор использует термин "калибрино" для суперпартнера калибровочного
бозона. Суперпартнеры известных частиц (называемые так же, как обычные
частицы, с добавлением окончания "ино") имеют те же квантовые числа по
группе внутренней симметрии, но отличаются от них лишь спином. - Прим.
ред.
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ
231
мость А3- ЗАВ2 может быть устранена только добавлением члена того же
вида, т. е. А3 - ЗАВ2 с точно подобранным коэффициентом. Расходимость А2
- В2 снова автоматически устраняется, и остается расходимость А2 + В2,
которую можно сократить добавлением подходящего слагаемого Л2 + В2.
Результирующая комбинация членов имеет общий вид
mil + m2 (А2 + В2) + т (А3 - ЗАВ2). (18.39)
Хотя это не массовый член с N =1, но он подобен ему в том смысле, что
связан с массовым слагаемым (12.30) соотношением О (2)-инвариантности.
Поэтому можно ожидать, что указанная добавка сохраняет конечность.
Суперсимметричные массовые слагаемые с N=1 сохраняют конечность во всех
порядках теории возмущений. Это следует
из того факта, что слагаемое вида ^ й*хй2$тф2 и аналогичные слагаемые для
полей X и Y не могут быть образованы, поскольку противоречат теореме о
"неперенормировке". Можно также не сомневаться, что добавки (М = 1)-
теории, подобные массовым, сохраняют конечность во всех порядках теории
возмущений, поскольку их связывают с (М = 1)-массовыми слагаемыми
преобразования О (2)-вращений.
Подведем итоги результатам этого раздела, перечислив необходимые и
достаточные условия сохранения конечности (М = 2)-теорий. Мягкие добавки
должны выражаться в виде следующих линейных комбинаций:
1) суперсимметричных массовых слагаемых с N= 1,
