Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
супергравитации см. в работах [118, 132]. Интересные сравнительно
недавние результаты в этом контексте получены в работе [133].
18.4. Явные нарушения суперсимметрии и конечность
Выясним теперь для большого класса конечных теорий, о которых речь шла в
предыдущем разделе, может ли по-прежнему
') L. Susskind, частное сообщение.
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ
223
сохраниться конечность при добавлении членов, мягко нарушающих симметрию.
Под "мягкими" слагаемыми мы понимаем слагаемые размерности 3 или меньше,
являющиеся калибровочно-инвариантными и сохраняющими четность. Включение
"мягкой" добавки в любой граф снижает его степень расходимости, но
дополнительные члены также явно нарушают суперсимметрию и внутреннюю
симметрию, которые ответственны за конечность этих весьма особых теорий.
Мы найдем, что не все "мягкие" слагаемые сохраняют конечность, а только
их определенные комбинации.
Первыми обнаруженными "мягкими" слагаемыми, сохраняющими конечность, были
(N = 1)-суперсимметричные массовые члены к теории Янга - Миллса с N = 4
[134]. Общий анализ, дающий необходимые и достаточные условия конечности
при добавлении мягкого слагаемого в теорию Янга - Миллса с N = 4,
представлен в работе [135], где использовалась шпури-онная техника. Но
некоторые авторы [136], используя при вычислениях формализм светового
конуса, независимо обнаружили члены, мягко нарушающие суперсимметрию и
сохраняющие конечность в теории Янга - Миллса с JV = 4; анализ
компонентных полей, также приведший к некоторым мягким добавкам,
сохраняющим конечность, дан в работе [137].
Мягкое слагаемое вида (Л2 - В2), обнаруженное в работах [135, 136],
позднее также было найдено в работе [138], где использовалось обобщение
формализма светового конуса, представленного в работе [136].
Анализ необходимых и достаточных условий того, что мягкая добавка
сохраняет конечность в классе теорий с N = 2, проведен в работе [128] с
помощью шпурионной техники. Некоторые из этих результатов были также
обнаружены при помощи вычислений в формализме компонентных полей [139].
Мы будем следовать вычислениям, приведенным в работах [128, 135], и
воспользуемся техникой шпурионов [140] для изучения расходимостей,
вызванных мягкими слагаемыми. Начнем с общей (N = 1)-суперсимметричной
теории, состоящей из полей Янга - Миллса с N= 1, V и мультиплета Весса -
Зумино ф. Обозначим компонентные поля мультиплета ф в х-пространстве
через (А, В, %А, F, G), а поля мультиплета Янга - Миллса с N = 1 через
(Ац, К, D).
В качестве примера рассмотрим добавление слагаемого ц2(А2- В2) к
суперсимметричному действию. Для того чтобы использовать суперполевой
формализм, в частности правила Фейнмана для суперграфов, запишем эту
добавку в суперпространстве, введя суперполе шпуриона
S = ц202, (18.21)
224
ГЛАВА 18
где 02 = 0л0д, а р2- постоянная. Суперполе S киральное в том смысле, что
D^S = 0, но это не скалярное суперполе, так как оно не преобразуется
правильным образом при преобразованиях суперсимметрии. Добавление члена
р.2 (Л2 - В2) обусловлено включением в действие слагаемого
^ d*xd2QS<l>2 + эрмит. сопр. = ^ ДД|х2(Л2 - В2). (18.22)
Теперь можно вычислять квантовые эффекты, используя фейн-мановские
правила для суперграфов, которые применялись
выше. Имеем те же пропагаторы и вершины, что и раньше, кроме добавочной
вершины, заданной выражением (18.22). Суперполе S представляет собой
только внешнее поле, а дополнительная вершина имеет лишь один множитель -
lUD2, связанный с одной из двух кираль-ных линий, как показано на рис.
18.1.
Назначение множителей D2 в том, что-
бы вершине сопоставить интегрирование по всему (N = 1)-суперпространству.
Следовательно, теорема о "неперенормировке" еще верна. Вычисляя
размерности, найдем, что размерность суперполя S равна 1. Шпурионы,
необходимые для введения всех других возможных слагаемых, мягко
нарушающих суперсимметрию, перечислены в табл. 18.1.
В табл. 18.1 pi, т,п,\ и е - постоянные; групповые индексы не приведены,
но подразумеваются. Суперполя V необходимы для сохранения калибровочной
инвариантности и важны для получения правильных ответов при вычислениях в
суперпространстве. Их компонентные выражения для простоты вычисляются в
калибровке Весса - Зумино.
Все приведенные выше вставки порождают новые вершины,
которые могут быть использованы для построения фейнманов-
ских суперграфов. Например, вставка %а%а дает дополнительные вершины,
изображенные на рис. 18.2.
Любые расходимости, вызванные этими вставками, будут удовлетворять
теореме о "неперенормировке" и, следовательно, будут иметь общий вид
J tfxdftS (D2S)r U (D2D2U)P f (f, V, Df, ...), (18.23)
где S - киральное суперполе_ шпуриона, S = s02, U - общее суперполе
шпуриона, U = uQ2Q2, a f - калибровочно-инвариантная функция от ф и V.
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ
225
Таблица 18.1
Шпурион Добавка к действию Размер- ность шпуриона
и1 = ц^0202 ^ d4 xd4QU{Ф (egI0 ф = ^ d4x(i2 (Л2 + В2) 0