Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
неизбежно будут присутствовать полюса вида 1 /е", где л> 1, которые
являются следствием полюса 1/е в однопетлевом приближении. Необходимо
использовать процедуру минимальных вычитаний, чтобы высшие члены
разложения по петлям не давали вкладов в P-функцию, поскольку вклады
могут возникать за счет конечных контрчленов, включенных в расходящиеся
однопетлевые графы.
Для того чтобы обсуждение было более конкретным, произведем в
суперпространстве подсчет степеней слагаемых действия теории Янга -
Миллса с N = 2 и убедимся в конечности во всех порядках теории возмущений
выше однопетлевого1). Препотенциал теории есть Vl>, а его размерность
равна -2. В этом случае действие должно иметь вид
А = J d4xd&Q (VLfV + V2Dl2V2 + •¦•)¦ (18.12)
Следовательно, пропагаторы имеют вид D~&612, а вершины содержат множитель
D12, степень которого такая же, как у меры интегрирования по всему
суперпространству. Внешние линии диаграмм в формализме фонового поля
содержат выражения ABi = DBiD4V в приближениях выше однопетлевого. Пусть
имеется Е внешних линий, Р пропагаторов и V кубических вершин.
Степень расходимости графа, содержащего только кубические вершины, равна
D = 4L-4P-C(2 +у) + 6F-4L. (18.13)
Наличие последнего слагаемого объясняется тем, что каждая внутренняя
петля включает восемь множителей D. Исполь-
') P. Howe, P. West, неопубликованная работа.
СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ
219
зуя соотношение ЗУ = 2Р Е, находим
D = -E/2. (18.14)
Приходим к заключению, что все графы, содержащие только кубические
вершины, конечны во всех порядках теории возмущений выше однопетлевого.
Читатель легко может обобщить этот результат, рассмотрев графы с любым
типом вершин.
Вернемся к обсуждению упомянутого выше исключительного случая -
однопетлевого приближения. Оно следует из того факта, что в расширенных
теориях приходится обычно вводить поля духов, но в этих теориях действие
с духами имеет некоторую остаточную инвариантность. Фиксируя такую
инвариантность и вводя дополнительные духи для духов, найдем, что новые
духи все еще обладают калибровочной инвариантностью. Этот процесс
продолжается неограниченно, и мы имеем бесконечное число полей духов. К
счастью, для суперсимметричных теорий Янга - Миллса духи второго и более
высоких поколений взаимодействуют только с фоновыми полями; что касается
полей материи, то даже их духи первого поколения не взаимодействуют с
квантовыми полями. Следовательно, проблема затрагивает только
однопетлевые графы. Чтобы сделать теорию определенной, следует оборвать
бесконечную последовательность духов для духов. Это достигается ценой
введения фонового калибровочного препотенциала, и, таким образом, его
необходимость становится очевидной.
В теориях Янга -Миллса с N = 2 связь напряженности поля с препотенциалом
дается формулой
W = S)klS)kl3)liV ц. (18.15)
Следствием калибровочной инвариантности
ми = &Ак%1т + SDkk^kk (18.16)
является инвариантность W, поскольку
DiiAD1BDk)c = 0. (18.17)
Любой член, фиксирующий калибровку, в который входит потенциал V>k,
должен быть также инвариантным относительно
калибровочного преобразования
щи" а = ?)Bl%Wki)(AB) (18.18)
и так далее. Первоначально необходимость выделения однопетлевого
исключения была отмечена в работе [112]; детальное обсуждение дано в
работе [113].
220
ГЛАВА 18
18.3. Конечные [N = 2)-теории с глобальной суперсимметрией [117]
В предыдущем разделе мы видели, что {N = 2) -теории с глобальной
суперсимметрией конечны, если они имеют нулевые однопетлевые |3-функции.
Для теории с TV = 1, содержащей поля Янга - Миллса и мультиплеты Весса -
Зумино фа в представлении Ra калибровочной группы, однопетлевая (1-
функция имеет вид [126]
' (18.19)
(N = 2) -теория с глобальной суперсимметрией включает (N - 2) -теорию
Янга - Миллса и (N = 2)-материю. В свою очередь (N = 2) -теория Янга -
Миллса содержит калибровочные поля Янга - Миллса с N = 1 и один
мультиплет Весса - Зумино ф в присоединенном представлении. С другой
стороны, поля материи с N = 2 состоят из мультиплетов Весса - Зумино Ха и
Уа в представлениях Ra и Ra соответственно. Используя результат для
однопетлевой р-функции (18.19), мы найдем, что для теорий с глобальной (N
= 2) -суперсимметрией эта функция имеет вид
fl(g) = -(l$-(ZT(X")-C2(G)y (18.20)
Имеется много случаев, когда P(g') обращается в нуль. Например, в случае
симметрии SU(N) Сг(А^) = Л/', а для фундаментального представления имеем
T(R)= 1/2. Следовательно, теория будет конечна, если имеется 2N
фундаментальных представлений.
Интересно, что большинство групп, которые были предложены для теории
Великого объединения, принадлежат одной групповой последовательности
[127]. Действительно, из пяти последовательностей, на которые были
разделены Картаном все группы Ли1), это единственная конечная
последовательность. Эта последовательность такова: Ей, Е7, Ее, Ее = SO
(10), Е4 = = St/(5) и Е3 = SU (3) X SU(2). Тот факт, что группа ?3><t/(l)
