Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 12
удовлетворяющее условию = 0. В теории вне массовой поверхности теперь
необходимы только два вспомогательных фер-миона; обозначим их S и Р.
Результирующее действие принимает вид
А = \d*x { - у (<Э^")2 - -j VdXt + 1V + jS2 + у Р2} • (12.25)
Преобразования можно вывести как и раньше (например, - г1Х> + e'V); вне
массовой поверхности супералгебра замкнута и не содержит центрального
заряда.
в. Имеется другая формулировка теории вне массовой поверхности, которая
является расширением формулировки, изложенной в предыдущем пункте.
Отличие состоит в том, что она содержит ослабленное условие = 0,
которое выполняется
теперь с помощью набора суперсимметричных множителей Лагранжа. Эта
формулировка довольно сложна [50], но она важна для квантования в
суперпространстве.
г. Имеется также обобщение формулировки теории вне массовой поверхности,
представленной в пункте а, которое не требует включения центрального
заряда [27].
В теории полей материи с N = 2 не должно появляться какого-либо
самодействия [28] (заметим, что в формулировке, представленной в пункте
а, юкавский член имеет вид фЛгф, не инвариантный относительно
преобразований SU{2)).
12.3. Общая глобальная теория с N = 2
Теперь мы можем построить взаимодействие (N = 2)-материи с полями теории
Янга - Миллса. Обычно для объединения двух мультиплетов необходимо
вводить дополнительные константы взаимодействия. Но в данном случае такие
константы взаимодействия являются калибровочными. Это следует из того
факта, что взаимодействие поля Ац с (М = 2)-материей определяется
калибровочной константой взаимодействия g. Однако вследствие (N=2) -
суперсимметрии взаимодействие любой компоненты (N = 2)-мультиплета Янга -
Миллса с (N = 2)-гипер-мультиплетом определяется калибровочной константой
взаимодействия. Эти теории имеют важное свойство: они содержат только
одну константу взаимодействия, т. е. являются действительно теориями
великого объединения. Взаимодействие между мультиплетами легко найти,
исходя из линеаризованной теории, действие которой есть сумма
линеаризованных действий каждой из теорий. Сделаем теперь теорию
калибровочно-ковариантной в соответствии с тем, что (М = 2)-поля материи
принадлежат представлению R(R) группы, и восстановим суперсимметрию,
добавив необходимые члены к действию и законам преобразова-
ТЕОРИИ С РАСШИРЕННОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕИ 91
ния. Поля (N = 2) -суперсимметричной теории Янга - Миллса имеют те же
преобразования (12.17), что и выше. Законы преобразования полей материи с
N = 2 имеют вид
6Лга = еУ.
6фа = + 2~ 2Ys^% - 2ig (Ts)abAib (As - iy5Bs) e<>
(12.26)
6Fia = ~ 2g*'y^isAlb (Tsfb + gB (iy5As - Bs) (Г)% г|Л
где
Vle = aHta-"(Ai)eH". °Ла = д"А)а+ё(А^аА]ь, (12.27)
a инвариантное действие есть
A = ЛЯМ + ЛматеРия двзаимод дмасса^ (1 2.28)
где
дям = TrJ^{_| (О^Л)2 _ I. (D(ifl)2 _ i. я +
+ т*2 -- г'^> ^ - т-([л- s])2}'
Лматерия = J d*x { - D^D^A'ta - i. фл^цФ° +1 J7'" I2}. (12.29)
двзаимод (Г5)айЛ1а^Й +
+ (^s)a6 A,.s + "if" (Tsfb 'Фа {Bs - гУ5 4j) Ys^6 +
+ §2л;алгс (TsTt)ac (AtAs + BtBs) + 4gX^AlA,* {Ts)cd },
лмасса = m^x |iF4A*ia_iF'{aAta+^ + 2igBs (гУИ'<вЛЬ<} .
(12.30)
Это действие при т = 0, очевидно, инвариантно относительно преобразований
группы U{2), дилатаций, а также, как и ожидалось, (N = 2) -суперконформно
инвариантно.
В теориях, где Х{> - калибровочный синглет, можно добавить слагаемое,
линейное по Х'>. Это происходит, когда вспомогательные поля Xi!, входящие
в мультиплет Янга - Миллса с N = 2, инварианты относительно
преобразований группы t/(l). Такой мультиплет может взаимодействовать с
(N = 2)-мульти-плетом материи, имеющим нетривиальные U (1) -весовые
множители; но этот член нарушает U (2) -симметрию.
92
ГЛАВА 12
12.4. (N = 4)-теория Янга - Миллса [29]
Мультиплет Янга - Миллса с N = 4 на массовой поверхности имеет одно
состояние со спином 1, четыре со спином 1/2 и шесть со спином 0.
Очевидно, он составлен из мультиплета полей Янга - Миллса с М = 2 и
мультиплета материи с N = 2 в присоединенном представлении некоторой
калибровочной группы. Так как в безмассовом случае взаимодействие этих
полей единственно, действие для (М = 4)-теории Янга - Миллса должно иметь
вид (12.25) с (М = 2)-материей в присоединенном представлении. Остается
только записать это действие явно в SU(4)- или О(4)-инвариантной форме и
найти преобразования (N = 4)-суперсимметрии на массовой поверхности. Эта
теория не обладает 17(4) -симметрией, поскольку набор составляющих ее
полей является СРГ-самосопряженным мультиплетом и, кроме того, генераторы
17(1) при N = 4 коммутируют с суперзарядами.
В О (4)-инвариантной формулировке имеются поля АXai, Aij и Bij, где Xai -
О(4)-инвариантный майорановский спинор, т. е.
^ai = Са^Х с,
а поля Aij и Вц принадлежат триплетному представлению группы 0(4). Это
значит, что они являются действительными антисимметричными самодуальными
тензорами второго ранга:
Ац - -^ гijkiAki, Btj = + YeijkiBki-
