Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
первоначально имеющая десять свободных параметров, имела только один
параметр перенормировки волновой функции, накладывает ограничения на
константы взаимодействия и массы. В действительности мы приходим к модели
Весса - Зумино, рассмотренной в гл. 5; эта модель обладает очевидной
суперсимметрией. Можно также потребовать, чтобы теория содержала частицы
со спином 1/2 и 1, а также имела только одну бесконечную перенормировку
волновой функции. При этом мы должны получить (М = 1)-теорию Янга-
Миллса, которая рассматривается в гл. 6.
4. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ АЛГЕБРЫ СУПЕРСИММЕТРИИ
Суперзаряды Qal принадлежат представлению группы Лоренца со спином 1/2 и,
следовательно, действуя на состояние со спином /, образуют в результате
состояние со спином /±1/2. Таким образом, суперсимметрия есть симметрия,
которая смешивает частицы разного спина, т. е. смешивает фермионы и
бозоны. Структура суперсимметрии с 72-градуировкой является необходимым
следствием того, что бозоны и фермионы подчиняются статистикам Бозе -
Эйнштейна и Ферми - Дирака со-ответствено, т. е. в классическом пределе
бозонное поле А и фермионное поле %а удовлетворяют соотношениям
[Л, Л] = 0, [А, %а] = О,
{%а> 5Ср} == 5Са5Ср "4" 0.
Другими словами, для совместности с этими соотношениями необходимо, чтобы
параметр суперсимметриы е" был антикоммутирующим.
Соотношение [Ра, Qa'] = 0 приводит к равенству
[Ра2, Qaf] = 0. (4.2)
Следовательно, Ра2 - оператор Казимира алгебры суперсиммет-рнп, поэтому
частицы в любом неприводимом представлении суперсимметрии имеют одну и ту
же массу. Нет необходимости долго рассматривать таблицы частиц, чтобы
понять, что подобное свойство не наблюдается в природе даже
приблизительно. Одна из главных трудностей в применении суперсимметрии к
исследованию природы элементарных частиц состоит в нахождении путей
нарушения суперсимметрии при сохранении ее привлекательных черт и
предсказательной силы.
Другое свойство алгебры суперсимметрии, которое приводит к далеко идущим
последствиям, - неотрицательность энергии Р0¦ Чтобы это увидеть, умножим
(2.21) на СбР, что дает
{Qj, } = -26i; (уаРа)а? - 6"Р?/" - (Y5)aP V". (4.3)
Полагая i = /, умножая на у0 и вычисляя след по индексам i и дираковским
индексам, находим
о < - ? Tr [{Qafe, QPfe} Y°] = ? Qak (Qafe)+ + эрмит. conp. =
ft a, ft
= 2N Tr (y°yaPa) = 8NP0.
30
ГЛАВА 4
Следовательно,
Ро> 0. (4.4)
Наконец, установим следующую очень полезную теорему.
Теорема. В любом представлении суперсимметрии, в котором Ра - обратимый
оператор, имеется равное число фермион-ных и бозонных степеней свободы.
Доказательство. Разложим пространство представлений суперсимметрии на два
набора - фермионный и бозонный и подействуем оператором {Qa', Qp;} на
бозонный набор. Действие
Бозоны Ферм иены Бозоны
Рис. 4.1.
первых генераторов QJ- будет отображать бозоны на фермионный набор, а
действие генераторов Q$i будет отображать полученные фермионы обратно в
бозонный набор (рис. 4.1).
Но если Ра - обратимый оператор, то антикоммутатор {Qa, Qp'} = 2(уаС)ацРа
должен быть также обратимым и отображение с помощью каждого из операторов
Qa' должно быть обратимым, поэтому мы должны иметь равное число бозонных
и фермионных степеней свободы. (Строго говоря, необходимо рассматривать
случай а = |3 = 1 и i = j = 1.)
Эта теорема применима к представлениям как на массовой поверхности, так и
вне ее, в которых Ра - да - действительно обратимый оператор.
5. МОДЕЛЬ ВЕССА -ЗУМИНО
Изучение двумерных дуальных моделей [7] способствовало обнаружению Вессом
и Зумино [3] первой четырехмерной модели, в которой было реализовано
линейное представление группы суперсимметрии. В этой главе мы проследим
возникновение суперсимметрии в соответствии с направлениями, намеченными
в гл. 4, и рассмотрим модель Весса - Зумино, которая является простейшей
моделью (N = 1)-суперсимметрии.
Предположим, что эта модель содержит один фермион %а, являющийся
майорановским спинором, а именно
= Сср/А (5.1)
"На массовой поверхности", т. е. когда выполнено уравнение движения
д%=- членам взаимодействия, (5.2)
поле Ха имеет две степени свободы, или два состояния спираль-ности.
Применяя сформулированное в предыдущей главе правило равенства числа
фермионных и бозонных степеней свободы к состояниям, заданным на массовой
поверхности, находим, что для реализации суперсимметрии следует добавить
две бозонные степени свободы. Такие степени свободы могут быть либо у
двух частиц с нулевым спином, либо у одной безмассо-вой векторной
частицы, которая также имеет на массовой поверхности два состояния
спиральности. Первую возможность мы рассмотрим в этой главе, а вторую,
соответствующую (N = 1) -суперсимметричной теории Янга - Миллса,
проанализируем в гл. 6.
В гл. 8 мы покажем, что подобные рассуждения действительно корректны.
Можно построить неприводимое представление (N - 1)-суперсимметрии либо с
одним четным (скалярным) и одним нечетным (псевдоскалярным) состояниями с